「野球」について
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国立 東京大学 2016年 第2問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する．以下の方式で試合を行い，$2$連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)ちょうど$5$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(3)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)ちょうど$5$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(3)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
国立 東京大学 2016年 第2問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する．以下の方式で試合を行い，$2$連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき，$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき，$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ．
私立 広島経済大学 2015年 第1問次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$2$次方程式$x^2+mx+m+99=0$が重解を持つときの$m$の値は$m=[$1$]$または$m=-[$2$]$である．また，$m=[$1$]$のときの重解は$x=-[$3$]$である．
(2)$3x^2+17xy-x+10y^2-31y-14$を因数分解すると
\[ (x+[$4$]y+[$5$])([$6$]x+[$7$]y-[$8$]) \]
となる．
(3)$100$人に野球とサッカーについて尋ねたところ，野球が好きな人は$67$人，サッカーが好きな人は$42$人，野球とサッカーの両方が好きな人は$28$人であった．このとき，野球もサッカーも好きでない人は$[$9$]$人，野球だけが好きな人は$[$10$]$人である．
(1)$2$次方程式$x^2+mx+m+99=0$が重解を持つときの$m$の値は$m=[$1$]$または$m=-[$2$]$である．また，$m=[$1$]$のときの重解は$x=-[$3$]$である．
(2)$3x^2+17xy-x+10y^2-31y-14$を因数分解すると
\[ (x+[$4$]y+[$5$])([$6$]x+[$7$]y-[$8$]) \]
となる．
(3)$100$人に野球とサッカーについて尋ねたところ，野球が好きな人は$67$人，サッカーが好きな人は$42$人，野球とサッカーの両方が好きな人は$28$人であった．このとき，野球もサッカーも好きでない人は$[$9$]$人，野球だけが好きな人は$[$10$]$人である．
国立 茨城大学 2013年 第2問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$つの野球チームが戦い，先に$4$勝したチームを優勝とする．引き分けはないものとし，各試合で$\mathrm{A}$チームが$\mathrm{B}$チームに勝つ確率は$\displaystyle \frac{3}{5}$とする．次の各問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}$チームが$4$勝$1$敗で優勝する確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームが最初の$2$試合で負けてしまった．その後，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
(3)$4$試合が終わって$\mathrm{A}$チームの$1$勝$3$敗になった．その後，どちらかのチームの優勝が決定するまでの残り試合数の期待値を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$チームが$4$勝$1$敗で優勝する確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームが最初の$2$試合で負けてしまった．その後，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
(3)$4$試合が終わって$\mathrm{A}$チームの$1$勝$3$敗になった．その後，どちらかのチームの優勝が決定するまでの残り試合数の期待値を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2011年 第3問$2$つの野球チーム$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が優勝を争うシリーズ戦が行われる．先に$n$試合勝った方が優勝することにする．ただし，各試合において引き分けはないものとし，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が相手に勝つ確率はそれぞれ$p,\ q (p+q=1,\ p>0,\ q>0)$とする．このとき，以下の問に答えなさい．
(1)$n=3$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する場合の勝敗パターンを試合総数の少ない順にすべて書きなさい．例えば，シリーズ各試合の勝ちチームが順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$であったとき，この場合の勝敗パターンを$\mathrm{AABA}$で表すことにする．
(2)$n=3$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めなさい．
(3)$n=4$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する場合の勝敗パターンの総数と，$\mathrm{A}$が優勝する確率とを求めなさい．
(1)$n=3$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する場合の勝敗パターンを試合総数の少ない順にすべて書きなさい．例えば，シリーズ各試合の勝ちチームが順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$であったとき，この場合の勝敗パターンを$\mathrm{AABA}$で表すことにする．
(2)$n=3$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めなさい．
(3)$n=4$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する場合の勝敗パターンの総数と，$\mathrm{A}$が優勝する確率とを求めなさい．