$1$から$5$までの自然数を$1$列に並べる．どの並べかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき$1$番目と$2$番目と$3$番目の数の和と，$3$番目と$4$番目と$5$番目の数の和が等しくなる確率を求めよ．ただし，各並べかたにおいて，それぞれの数字は重複なく$1$度ずつ用いるものとする．

$n$を3以上の整数とする．1から$n$までの番号を1つずつ重複せずに書いた$n$枚のカードが箱に入っている．この箱から3枚のカードを同時に取り出し，取り出したカードの番号を小さい順に$a,\ b,\ c$とする．$b-a=c-b$が成り立つ確率を$p_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)$p_5$を求めよ．
(2)$p_6$を求めよ．
(3)$n$が奇数のとき，$p_n$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$p_n$を求めよ．

$n$を3以上の整数とする．1から$n$までの番号を1つずつ重複せずに書いた$n$枚のカードが箱に入っている．この箱から3枚のカードを同時に取り出し，取り出したカードの番号を小さい順に$a,\ b,\ c$とする．$b-a=c-b$が成り立つ確率を$p_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)$p_5$を求めよ．
(2)$p_6$を求めよ．
(3)$n$が奇数のとき，$p_n$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$p_n$を求めよ．

赤玉，白玉，青玉がそれぞれ$2$個以上入った袋がある．袋から同時に玉を$k$個取り出し，色を調べてからもとに戻す試行を$S(k)$とする．試行$S(1)$を続けて$2$回行うとき，赤玉が少なくとも$1$回出る確率が$\displaystyle \frac{5}{9}$，異なる色の玉が出る確率が$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)試行$S(1)$を$1$回行うとき，赤玉の出る確率と白玉の出る確率を求めなさい．
(2)試行$S(2)$を続けて$2$回行う．$1$回目に取り出す玉の色と$2$回目に取り出す玉の色に重複がない確率が$\displaystyle \frac{1}{6}$であるとき，赤玉，白玉，青玉それぞれの個数を求めなさい．

$6$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$を重複なく使ってできる$5$桁の数を，小さい方から順に並べる．

(1)初めて$30000$以上になる数を求めよ．また，その数は何番目か答えよ．
(2)$300$番目の数を答えよ．