「重複」について
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国立 徳島大学 2013年 第2問$5$種類の文字$\mathrm{N},\ \mathrm{E},\ \mathrm{S},\ \mathrm{W},\ \mathrm{X}$を重複を許して横一列に$6$個並べた順列を考える．原点から出発して座標平面上を動くことができる点$\mathrm{P}$がある．それぞれの順列に対し，順列の文字を左端から$1$つずつ見てゆき，次の規則に従って点$\mathrm{P}$を動かし点$\mathrm{P}$の最終的な位置を決める．$\mathrm{X}$以外の各文字に対して，点$\mathrm{P}$を次の方向に$1$だけ動かす．
$\mathrm{N}$は$y$軸の正の方向 \quad $\mathrm{E}$は$x$軸の正の方向 \quad $\mathrm{S}$は$y$軸の負の方向 \quad $\mathrm{W}$は$x$軸の負の方向
$\mathrm{X}$に対しては点$\mathrm{P}$は動かさない．例えば，順列$\mathrm{NESNXN}$に対する点$\mathrm{P}$の最終的な位置は$(1,\ 2)$となる．
(1)$x+y=6$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(2)$|x+y|=4$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の最終的な位置が原点である順列の総数を求めよ．
$\mathrm{N}$は$y$軸の正の方向 \quad $\mathrm{E}$は$x$軸の正の方向 \quad $\mathrm{S}$は$y$軸の負の方向 \quad $\mathrm{W}$は$x$軸の負の方向
$\mathrm{X}$に対しては点$\mathrm{P}$は動かさない．例えば，順列$\mathrm{NESNXN}$に対する点$\mathrm{P}$の最終的な位置は$(1,\ 2)$となる．
(1)$x+y=6$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(2)$|x+y|=4$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の最終的な位置が原点である順列の総数を求めよ．
国立 岐阜大学 2013年 第3問$1$から$9$までの数字が$1$つずつ重複せずに書かれた$9$枚のカードがある．そのうち$8$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$人に$2$枚ずつ分ける．以下の問に答えよ．
(1)$9$枚のカードの分け方は全部で何通りあるか．
(2)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の和が$4$人とも奇数である確率を求めよ．
(3)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の差が$4$人とも同じである確率を求めよ．ただし，$2$枚のカードに書かれた数の差とは，大きいほうの数から小さいほうの数を引いた数である．
(1)$9$枚のカードの分け方は全部で何通りあるか．
(2)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の和が$4$人とも奇数である確率を求めよ．
(3)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の差が$4$人とも同じである確率を求めよ．ただし，$2$枚のカードに書かれた数の差とは，大きいほうの数から小さいほうの数を引いた数である．
私立 北海道医療大学 2013年 第3問$1,\ 3,\ 5$の$3$つの数から重複を許して$3$つの数を選び，その$3$つの数を辺の長さとする三角形を作ろうとするとき，以下の問に答えよ．ただし，$3$つの数の組み合わせは$(1,\ 1,\ 3)$，$(1,\ 5,\ 5)$のように記すこと．
(1)$3$つの数を選ぶ組み合わせは何通りあるか．ただし，三角形ができない組み合わせも含むとする．
(2)正三角形ができる組み合わせを列挙せよ．
(3)正三角形ではない二等辺三角形ができる組み合わせを列挙せよ．
(4)三角形ができない組み合わせを列挙せよ．
(1)$3$つの数を選ぶ組み合わせは何通りあるか．ただし，三角形ができない組み合わせも含むとする．
(2)正三角形ができる組み合わせを列挙せよ．
(3)正三角形ではない二等辺三角形ができる組み合わせを列挙せよ．
(4)三角形ができない組み合わせを列挙せよ．
私立 広島修道大学 2013年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)$30$以下の自然数の集合を全体集合$U$とし，$U$の部分集合で$3$の倍数の集合を$A$，$U$の部分集合で$4$の倍数の集合を$B$とする．このとき，要素を書き並べる方法で表すと，$A \cap B=[$1$]$，$\overline{A} \cap B=[$2$]$である．
(2)$3$個の数字$0,\ 1,\ 2$を，重複を許して並べてできる$5$桁の整数は$[$3$]$個ある．そのうち，$0,\ 1,\ 2$の$3$個の数字がすべて使われている整数は$[$4$]$個ある．
(3)関数$y=\sin x \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$の最小値は$[$5$]$であり，関数$\displaystyle y=\sin \left( x+\frac{2}{3} \pi \right) (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値は$[$6$]$である．
(4)円$(x-a)^2+y^2=4$と直線$\displaystyle y=x-\frac{a}{2}$が接するとき，定数$a$の値は$a=[$7$]$または$a=[$8$]$である．
(5)不等式$\displaystyle 9^{x+\frac{1}{2}}-10 \cdot 3^x+3 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．
(6)方程式$\displaystyle \frac{1}{2}x^3+mx+n=0$の解の$1$つが$-1-\sqrt{3}i$のとき，実数$m,\ n$の値は$m=[$10$]$，$n=[$11$]$である．
(1)$30$以下の自然数の集合を全体集合$U$とし，$U$の部分集合で$3$の倍数の集合を$A$，$U$の部分集合で$4$の倍数の集合を$B$とする．このとき，要素を書き並べる方法で表すと，$A \cap B=[$1$]$，$\overline{A} \cap B=[$2$]$である．
(2)$3$個の数字$0,\ 1,\ 2$を，重複を許して並べてできる$5$桁の整数は$[$3$]$個ある．そのうち，$0,\ 1,\ 2$の$3$個の数字がすべて使われている整数は$[$4$]$個ある．
(3)関数$y=\sin x \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$の最小値は$[$5$]$であり，関数$\displaystyle y=\sin \left( x+\frac{2}{3} \pi \right) (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値は$[$6$]$である．
(4)円$(x-a)^2+y^2=4$と直線$\displaystyle y=x-\frac{a}{2}$が接するとき，定数$a$の値は$a=[$7$]$または$a=[$8$]$である．
(5)不等式$\displaystyle 9^{x+\frac{1}{2}}-10 \cdot 3^x+3 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．
(6)方程式$\displaystyle \frac{1}{2}x^3+mx+n=0$の解の$1$つが$-1-\sqrt{3}i$のとき，実数$m,\ n$の値は$m=[$10$]$，$n=[$11$]$である．
公立 首都大学東京 2013年 第1問$1$から$10$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$10$枚のカードがあり，左から小さい番号の順に横$1$列に並べてある．この中から，無作為に$2$枚のカードを選び，その場所を入れかえる操作を考える．$n$を正の整数として，この操作を$n$回行ったとき，左端にあるカードに書かれている番号が$1$である確率を$p_n$とする．以下の問いに答えなさい．
(1)$p_1$を求めなさい．
(2)$n$回目の操作のあと，$1$が書かれたカードが左端になく，$(n+1)$回目の操作のあとに$1$が書かれたカードが左端にある確率を$q_n$とするとき，$q_n$を$p_n$を用いて表しなさい．
(3)$p_{n+1}$と$p_n$の間に成り立つ関係式を求めなさい．
(4)$p_n$を$n$を用いて表しなさい．
(1)$p_1$を求めなさい．
(2)$n$回目の操作のあと，$1$が書かれたカードが左端になく，$(n+1)$回目の操作のあとに$1$が書かれたカードが左端にある確率を$q_n$とするとき，$q_n$を$p_n$を用いて表しなさい．
(3)$p_{n+1}$と$p_n$の間に成り立つ関係式を求めなさい．
(4)$p_n$を$n$を用いて表しなさい．
公立 会津大学 2013年 第1問次の空欄をうめよ．
(1)次の積分を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_{-2}^1 x \sqrt{x+3} \, dx=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \, dx=[ロ]$
(2)$2$つの放物線$y=4x^2$と$y=(x-1)^2$で囲まれた部分の面積は$[ハ]$である．
(3)$\sqrt{-2} \, \sqrt{-3}=[ニ]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[ホ]$である．
(5)$0 \leqq x \leqq \pi$において$\displaystyle \sin 2x-\frac{1}{2}=\sin x-\cos x$のとき，$x=[ヘ]$である．
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を重複なく用いて作られる$5$桁の整数を小さい順に並べる．初めて$20000$以上になる整数は$[ト]$で，それは$[チ]$番目である．
(1)次の積分を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_{-2}^1 x \sqrt{x+3} \, dx=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \, dx=[ロ]$
(2)$2$つの放物線$y=4x^2$と$y=(x-1)^2$で囲まれた部分の面積は$[ハ]$である．
(3)$\sqrt{-2} \, \sqrt{-3}=[ニ]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[ホ]$である．
(5)$0 \leqq x \leqq \pi$において$\displaystyle \sin 2x-\frac{1}{2}=\sin x-\cos x$のとき，$x=[ヘ]$である．
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を重複なく用いて作られる$5$桁の整数を小さい順に並べる．初めて$20000$以上になる整数は$[ト]$で，それは$[チ]$番目である．
国立 山形大学 2012年 第1問袋の中に$1$から$8$までの数字が$1$つずつ重複せずに書かれた$8$枚のカードが入っている．袋の中からカードを$1$枚取り出して，もとに戻すという操作を$4$回繰り返す．$1$回目，$2$回目，$3$回目，$4$回目に取り出されたカードに書かれた数をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a+b+c+d=6$となる確率を求めよ．
(2)積$abcd$が奇数となる確率を求めよ．
(3)$(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)=0$となる確率を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{1}{ab}+\frac{2}{cd}=\frac{1}{2}$となる確率を求めよ．
(1)$a+b+c+d=6$となる確率を求めよ．
(2)積$abcd$が奇数となる確率を求めよ．
(3)$(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)=0$となる確率を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{1}{ab}+\frac{2}{cd}=\frac{1}{2}$となる確率を求めよ．
国立 岐阜大学 2012年 第2問$1$から$8$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$8$個の玉が，箱の中に入っている．$1$回目の操作として，箱から$3$個の玉を同時に取り出し，最大番号と最小番号の玉は箱に戻さず，残り$1$個を箱に戻す．この状態から$2$回目の操作として，さらに箱から$3$個の玉を同時に取り出す．$1$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_1$，$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_2$とする．以下の問に答えよ．
(1)$n_1 \geqq 3$となる確率を求めよ．
(2)$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の中に，$5$の番号が書かれた玉が含まれる確率を求めよ．
(3)$n_1+n_2 \leqq 11$となる確率を求めよ．
(1)$n_1 \geqq 3$となる確率を求めよ．
(2)$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の中に，$5$の番号が書かれた玉が含まれる確率を求めよ．
(3)$n_1+n_2 \leqq 11$となる確率を求めよ．
国立 岐阜大学 2012年 第2問$1$から$8$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$8$個の玉が，箱の中に入っている．$1$回目の操作として，箱から$3$個の玉を同時に取り出し，最大番号と最小番号の玉は箱に戻さず，残り$1$個を箱に戻す．この状態から$2$回目の操作として，さらに箱から$3$個の玉を同時に取り出す．$1$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_1$，$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_2$とする．以下の問に答えよ．
(1)$n_1 \geqq 3$となる確率を求めよ．
(2)$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の中に，$5$の番号が書かれた玉が含まれる確率を求めよ．
(3)$n_1+n_2 \leqq 11$となる確率を求めよ．
(1)$n_1 \geqq 3$となる確率を求めよ．
(2)$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の中に，$5$の番号が書かれた玉が含まれる確率を求めよ．
(3)$n_1+n_2 \leqq 11$となる確率を求めよ．
私立 早稲田大学 2012年 第2問次の問に答えよ．
(1)$4$個の数字$2,\ 4,\ 9,\ 12$から重複を許して$4$個選ぶとき，選んだ$4$個の数の平均が$8$になる確率は$[カ]$である．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人が$1$つのサイコロを$1$回ずつ交互に投げる．$\mathrm{A}$から始めて$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の順で$1$人$2$回，$2$人あわせて$4$回投げるものとする．
(3)先に$2$回偶数を出した人を勝ちとするとき，$\mathrm{B}$が勝つ確率は$[キ]$である．
(4)先に$2$回$1$の目を出した人を勝ちとするとき，$\mathrm{B}$が勝つ確率は$[ク]$である．
(1)$4$個の数字$2,\ 4,\ 9,\ 12$から重複を許して$4$個選ぶとき，選んだ$4$個の数の平均が$8$になる確率は$[カ]$である．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人が$1$つのサイコロを$1$回ずつ交互に投げる．$\mathrm{A}$から始めて$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の順で$1$人$2$回，$2$人あわせて$4$回投げるものとする．
(3)先に$2$回偶数を出した人を勝ちとするとき，$\mathrm{B}$が勝つ確率は$[キ]$である．
(4)先に$2$回$1$の目を出した人を勝ちとするとき，$\mathrm{B}$が勝つ確率は$[ク]$である．