自然数$n$に対し，$3$個の数字$1,\ 2,\ 3$から重複を許して$n$個並べたもの$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$の全体の集合を$S_n$とおく．$S_n$の要素$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$に対し，次の$2$つの条件を考える．

条件$\mathrm{C}_{12}$：$1 \leqq i<j \leqq n$である整数$i,\ j$の組で，$x_i=1$，$x_j=2$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する．
条件$\mathrm{C}_{123}$：$1 \leqq i<j<k \leqq n$である整数$i,\ j,\ k$の組で，$x_i=1$，$x_j=2$，$x_k=3$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する．
例えば，$S_4$の要素$(3,\ 1,\ 2,\ 2)$は条件$\mathrm{C}_{12}$を満たすが，条件$\mathrm{C}_{123}$は満たさない．
$S_n$の要素$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$のうち，条件$\mathrm{C}_{12}$を満たさないものの個数を$f(n)$，条件$\mathrm{C}_{123}$を満たさないものの個数を$g(n)$とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$f(4)$と$g(4)$を求めよ．
(2)$f(n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$g(n+1)$を$g(n)$と$f(n)$を用いて表せ．
(4)$g(n)$を$n$を用いて表せ．

箱の中に，$1$から$4$までの整数が$1$つずつ重複せずに書かれた$4$枚のカードが入っている．この箱から$2$枚のカードを同時に取り出し，書かれた整数のうち，小さい方を$a$，大きい方を$b$とする．また，放物線$C:y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$における接線を$\ell$とし，$\ell$に平行で点$(b,\ b^2)$を通る直線を$m$とする．さらに，放物線$C$と直線$m$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$m$の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$S$の期待値を求めよ．

$10$個のアルファベットの大文字$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$を重複を許して並べてできる$5$文字の順列を$1$枚のカードに$1$つずつ書くとする．なお，文字$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$は上下を逆さまにしてもそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$と読めるので，これらの文字で書かれた$5$文字の順列はカードごと上下を逆さまにすると，$i=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$に対して$i$番目の文字がもとの$6-i$番目の文字に対応する$5$文字の順列が書かれたカードとして使えるとする．例えば，$\mathrm{HIOXX}$と書かれたカードは上下を逆さまにして，$\mathrm{XXOIH}$と書かれたカードとしても使える．しかし，$\mathrm{ABEIF}$と書かれたカードは上下を逆さまにすると$5$文字の順列を表すカードとしては使えない．このとき，次の問に答えよ．

(1)上下を逆さまにして読んでも同じ順列を表すカードの総数を求めよ．
(2)上下を逆さまにして読むと異なる順列を表すカードの総数を求めよ．
(3)上下を逆さまにすることにより$1$枚のカードを$2$度まで使うことを許すとする．すべての順列を書くためには，最小限で何枚のカードが必要か．

$10$個のアルファベットの大文字$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$を重複を許して並べてできる$5$文字の順列を$1$枚のカードに$1$つずつ書くとする．なお，文字$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$は上下を逆さまにしてもそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$と読めるので，これらの文字で書かれた$5$文字の順列はカードごと上下を逆さまにすると，$i=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$に対して$i$番目の文字がもとの$6-i$番目の文字に対応する$5$文字の順列が書かれたカードとして使えるとする．例えば，$\mathrm{HIOXX}$と書かれたカードは上下を逆さまにして，$\mathrm{XXOIH}$と書かれたカードとしても使える．しかし，$\mathrm{ABEIF}$と書かれたカードは上下を逆さまにすると$5$文字の順列を表すカードとしては使えない．このとき，次の問に答えよ．

(1)上下を逆さまにして読んでも同じ順列を表すカードの総数を求めよ．
(2)上下を逆さまにして読むと異なる順列を表すカードの総数を求めよ．
(3)上下を逆さまにすることにより$1$枚のカードを$2$度まで使うことを許すとする．すべての順列を書くためには，最小限で何枚のカードが必要か．

$1,\ 2,\ 3,\ 4$の$4$個の数字を使って，$3$桁の数を作る．このとき，各桁の数字が異なり，$3$の倍数となる数は$[　]$個ある．また，各桁の数字に重複を許すとき，$3$の倍数となる数は$[　]$個ある．

$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$個の数字を使って，$4$桁の数を作る．このとき，各桁の数字が異なり，$3$の倍数となる数は$[　]$個ある．また，各桁の数字に重複を許すとき，$3$の倍数となる数は$[　]$個ある．

次の問について，答えを$[　]$に記入せよ．

(1)$x^2-6x+4=0$の解を$\alpha,\ \beta$（ただし，$\alpha<\beta$）とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[ア]$，$\sqrt{\alpha}-\sqrt{\beta}=[イ]$である．
(2)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字を重複せずに使って整数を作るとき，$4$桁の整数は$[ウ]$個，$2000$より大きな$4$桁の整数は$[エ]$個ある．
(3)$\displaystyle \cos \theta-\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} (0<\theta<\frac{\pi}{4})$のとき，$\cos \theta+\sin \theta=[オ]$であり，$\cos 2\theta=[カ]$である．
(4)$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とするとき，${12}^{2014}$は$[キ]$桁の整数である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^{10}$は小数第$[ク]$位に初めて$0$でない数字が現れる．

異なる$n$個の整数$1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n$の中から重複を許して$2$個の整数を選び，すべての組合せについて，$2$数の和および積をたし合わせたものをそれぞれ$S(n)$，$T(n)$とする．$n \geqq 2$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$S(3)$，$T(3)$を求めよ．
(2)$S(n)$，$T(n)$を$n$の式で表せ．

異なる$n$個の整数$1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n$の中から$3$個の整数を選び，それらの和を$3$で割った余りが$0,\ 1,\ 2$となる確率をそれぞれ$p_n$，$q_n$，$r_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)同じ整数を重複して選ぶことを許すとき，$p_9$，$q_9$，$r_9$を求めよ．
(2)同じ整数を重複して選ぶことを許さないとき，

(i) $p_{3k}$，$q_{3k}$，$r_{3k}$を$k$を用いて表せ．ただし，$k \geqq 3$とする．
(ii) $\displaystyle \lim_{k \to \infty} p_{3k}$を求めよ．

$x^3=1$の解のうち$1$でないものの$1$つを$\omega$とし，$y=(x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3)^3$を考える．$x_1$，$x_2$，$x_3$に$1$から$3$までの自然数を重複を許さないように代入するとき$y$が取り得る値は何通りあるか．