「配置」について
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公立 名古屋市立大学 2014年 第3問円周上に等間隔に$n$個（$n \geqq 4$）の点が配置されている．これらの点から異なる$3$点を無作為に選び出し，それらを頂点とする三角形をつくる．次の問いに答えよ．
(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．
(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．
私立 安田女子大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{4}{7}-\frac{7}{9} \right) \div \frac{13}{3}$を計算せよ．
(2)不等式$x \cdot |x|<x$を解け．
(3)正四面体の$4$個の頂点を，それぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの文字で表すとき，文字の配置方法は何通りあるか求めよ．ただし，正四面体を回転させてすべての文字が一致すれば，同じ配置方法とみなす．
(4)$(1-i)^{10}$を計算せよ．ただし，$i^2=-1$である．
(5)$\log_{10}2+\log_{10}80-4 \log_{10}2$を簡単にせよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{4}{7}-\frac{7}{9} \right) \div \frac{13}{3}$を計算せよ．
(2)不等式$x \cdot |x|<x$を解け．
(3)正四面体の$4$個の頂点を，それぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの文字で表すとき，文字の配置方法は何通りあるか求めよ．ただし，正四面体を回転させてすべての文字が一致すれば，同じ配置方法とみなす．
(4)$(1-i)^{10}$を計算せよ．ただし，$i^2=-1$である．
(5)$\log_{10}2+\log_{10}80-4 \log_{10}2$を簡単にせよ．
私立 安田女子大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{4}{7}-\frac{7}{9} \right) \div \frac{13}{3}$を計算せよ．
(2)不等式$x \cdot |x|<x$を解け．
(3)正四面体の$4$個の頂点を，それぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの文字で表すとき，文字の配置方法は何通りあるか求めよ．ただし，正四面体を回転させてすべての文字が一致すれば，同じ配置方法とみなす．
(4)分担可能なある仕事を仕上げるのに，$\mathrm{A}$さんは$3$時間，$\mathrm{B}$さんは$4$時間，$\mathrm{C}$さんは$6$時間かかる．この仕事を$3$人で分担し，同時に行うとすると時間はどれだけかかるか求めよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{4}{7}-\frac{7}{9} \right) \div \frac{13}{3}$を計算せよ．
(2)不等式$x \cdot |x|<x$を解け．
(3)正四面体の$4$個の頂点を，それぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの文字で表すとき，文字の配置方法は何通りあるか求めよ．ただし，正四面体を回転させてすべての文字が一致すれば，同じ配置方法とみなす．
(4)分担可能なある仕事を仕上げるのに，$\mathrm{A}$さんは$3$時間，$\mathrm{B}$さんは$4$時間，$\mathrm{C}$さんは$6$時間かかる．この仕事を$3$人で分担し，同時に行うとすると時間はどれだけかかるか求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2012年 第2問$xy$平面上の点とベクトルに関する以下の問いに答えよ．
(1)図のように$x$軸の正の部分と$30^\circ$の角をなす直線上に$n$個の点（$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2,\ \cdots, \mathrm{A}_n$）を以下の規則で配置する．このときの$\mathrm{A}_n$の座標を$n$を用いて表せ．また$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}_1},\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}} \]
（図は省略）
(2)今度は$n$個の点を第一象限内に図のように反時計回りに配置する．各線分は隣り合う線分と直角をなす．このとき$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．ただし，各線分の長さの関係は以下の規則に従うものとする．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}}| \]
（図は省略）
(1)図のように$x$軸の正の部分と$30^\circ$の角をなす直線上に$n$個の点（$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2,\ \cdots, \mathrm{A}_n$）を以下の規則で配置する．このときの$\mathrm{A}_n$の座標を$n$を用いて表せ．また$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}_1},\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}} \]
（図は省略）
(2)今度は$n$個の点を第一象限内に図のように反時計回りに配置する．各線分は隣り合う線分と直角をなす．このとき$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．ただし，各線分の長さの関係は以下の規則に従うものとする．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}}| \]
（図は省略）
公立 福岡女子大学 2011年 第4問座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心に一定の角$\theta$で回転移動する$1$次変換を$f$とし，一定の正の数$r$で各点$(x,\ y)$を点$(rx,\ ry)$に移す相似変換を$g$とする．また，$g$と$f$の合成変換$g \circ f$を表す行列を$K(r,\ \theta)$とする．原点$\mathrm{O}$と異なる座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対して，点$\mathrm{Q}(c,\ d)$を次で定める：
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい．
(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい．$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$ad-bc>0$であることを示しなさい．
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる．このことを用いて，図のように，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい．ただし，$x_4=x_1$，$y_4=y_1$とする．
（図は省略）
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい．
(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい．$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$ad-bc>0$であることを示しなさい．
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる．このことを用いて，図のように，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい．ただし，$x_4=x_1$，$y_4=y_1$とする．
（図は省略）
国立 岡山大学 2010年 第4問平面上に半径1の円$C$がある．この円に外接し，さらに隣り合う2つが互いに外接するように，同じ大きさの$n$個の円を図（例1）のように配置し，その一つの円の半径を$R_n$とする．また，円$C$に内接し，さらに隣り合う2つが互いに外接するように，同じ大きさの$n$個の円を図（例2）のように配置し，その一つの円の半径を$r_n$とする．ただし，$n \geqq 3$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$R_6,\ r_6$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2(R_n-r_n)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1$を用いてよい．
\setlength\unitlength{1truecm}
\scalebox{1.5}{
（図は省略）
}
(1)$R_6,\ r_6$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2(R_n-r_n)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1$を用いてよい．
\setlength\unitlength{1truecm}
\scalebox{1.5}{
（図は省略）
}