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私立 昭和薬科大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)${10}^{a+1}=45,\ {10}^{b+2}=75$のとき，$\log_{10}5$を$a,\ b$を用いて表すと，$\displaystyle \log_{10}5=\frac{-a+[ア]b+[イ]}{[ウ]}$である．
(2)次の連立不等式を満たす整数$x$をすべて加えると$[エ][オ]$である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-12x+10<0 \\
x^2-6x-1>0 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(3)区別のつかない$8$個の球を$4$人で分配する方法は$[カ][キ][ク]$通りである．ただし，$1$個も配分されない人がいる場合も含めて考えることにする．
(4)$\displaystyle \tan (\alpha-\beta)=2,\ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2},\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \alpha=[ケ]+\sqrt{[コ]}$，$\tan \beta=[サ][シ]+\sqrt{[ス]}$である．
(5)点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 5)$，$\mathrm{B}(0,\ -7,\ 3)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$に対して，直線$\mathrm{AB}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{AC}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式は
\[ y=\frac{[セ]}{[ソ]}x+\frac{[タ]}{[チ]},\quad z=0 \]
である．
(6)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot 3^k=\frac{[ツ]}{[テ]} \{([ト]n-1)3^n+1 \}$である．
(1)${10}^{a+1}=45,\ {10}^{b+2}=75$のとき，$\log_{10}5$を$a,\ b$を用いて表すと，$\displaystyle \log_{10}5=\frac{-a+[ア]b+[イ]}{[ウ]}$である．
(2)次の連立不等式を満たす整数$x$をすべて加えると$[エ][オ]$である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-12x+10<0 \\
x^2-6x-1>0 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(3)区別のつかない$8$個の球を$4$人で分配する方法は$[カ][キ][ク]$通りである．ただし，$1$個も配分されない人がいる場合も含めて考えることにする．
(4)$\displaystyle \tan (\alpha-\beta)=2,\ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2},\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \alpha=[ケ]+\sqrt{[コ]}$，$\tan \beta=[サ][シ]+\sqrt{[ス]}$である．
(5)点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 5)$，$\mathrm{B}(0,\ -7,\ 3)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$に対して，直線$\mathrm{AB}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{AC}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式は
\[ y=\frac{[セ]}{[ソ]}x+\frac{[タ]}{[チ]},\quad z=0 \]
である．
(6)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot 3^k=\frac{[ツ]}{[テ]} \{([ト]n-1)3^n+1 \}$である．
私立 慶應義塾大学 2012年 第2問\setstretch{1.4}
$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が協力して仕事を完成した場合は$120$万円の報酬をもらえる．しかし$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人が協力して仕事を完成した場合は$60$万円の報酬に，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$の$2$人が協力して仕事を完成した場合は$20$万円の報酬に減額される．さらに$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$2$人が協力して仕事を完成した場合や各人が単独で仕事を完成した場合は報酬はもらえない．\\
\quad 実際は$3$人が協力して仕事を完成し，$120$万円の報酬を得たが，この報酬を$3$者間でいかに配分したらよいかを考えた．\\
$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$各人の配分額をそれぞれ$x,\ y,\ z$とすれば
\[ x+y+z=120,\quad x\geq 0,\quad y \geq 0,\quad z \geq 0 \]
である．たとえば$(x,\ y,\ z)=(40,\ 10,\ 70)$としてみる．もし$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人が仕事を完成したとすれば$60$万円の報酬であるが，この配分では$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は$50$万円の報酬を得る．したがって$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$にとっては$60-50=10$（万円）の不満である．そして$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$にとっては$20-110=-90$の不満である．$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$にとっては$-[$13$][$14$]$の不満，$\mathrm{A}$にとっては$-[$15$][$16$]$の不満，$\mathrm{B}$にとっては$-[$17$][$18$]$の不満，$\mathrm{C}$にとっては$-[$19$][$20$]$の不満である．この場合，$2$人あるいは単独で仕事を完成した場合と比較すると最大の不満は$10$，$2$番目に大きな不満は$-[$21$][$22$]$，$3$番目に大きな不満は$-[$23$][$24$]$である．\\
\quad さて配分$(x,\ y,\ z)$を考える方針として，各配分に対して，$2$人あるいは単独で仕事を完成した場合と比較して上述のように不満を計算する．そして最大の不満がより小さい配分が好ましいとする．ただし最大の不満が同じ場合は$2$番目に大きな不満，それが同じであれば$3$番目の不満といった具合に比較する．\\
\quad もっとも好ましい配分に対する最大の不満を$M$とすると，$M=-[$25$][$26$]$であることが分かる．最大の不満が$M$である配分に対して$2$番目に大きな不満を$M^{\prime}$とすると，$M^{\prime}=-[$27$][$28$]$であることが分かる．以上のことからもっとも好ましい配分は
\[ x=[$29$][$30$],\quad y=[$31$][$32$],\quad z=[$33$][$34$] \]
である．
\setstretch{1.3}
$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が協力して仕事を完成した場合は$120$万円の報酬をもらえる．しかし$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人が協力して仕事を完成した場合は$60$万円の報酬に，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$の$2$人が協力して仕事を完成した場合は$20$万円の報酬に減額される．さらに$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$2$人が協力して仕事を完成した場合や各人が単独で仕事を完成した場合は報酬はもらえない．\\
\quad 実際は$3$人が協力して仕事を完成し，$120$万円の報酬を得たが，この報酬を$3$者間でいかに配分したらよいかを考えた．\\
$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$各人の配分額をそれぞれ$x,\ y,\ z$とすれば
\[ x+y+z=120,\quad x\geq 0,\quad y \geq 0,\quad z \geq 0 \]
である．たとえば$(x,\ y,\ z)=(40,\ 10,\ 70)$としてみる．もし$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人が仕事を完成したとすれば$60$万円の報酬であるが，この配分では$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は$50$万円の報酬を得る．したがって$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$にとっては$60-50=10$（万円）の不満である．そして$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$にとっては$20-110=-90$の不満である．$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$にとっては$-[$13$][$14$]$の不満，$\mathrm{A}$にとっては$-[$15$][$16$]$の不満，$\mathrm{B}$にとっては$-[$17$][$18$]$の不満，$\mathrm{C}$にとっては$-[$19$][$20$]$の不満である．この場合，$2$人あるいは単独で仕事を完成した場合と比較すると最大の不満は$10$，$2$番目に大きな不満は$-[$21$][$22$]$，$3$番目に大きな不満は$-[$23$][$24$]$である．\\
\quad さて配分$(x,\ y,\ z)$を考える方針として，各配分に対して，$2$人あるいは単独で仕事を完成した場合と比較して上述のように不満を計算する．そして最大の不満がより小さい配分が好ましいとする．ただし最大の不満が同じ場合は$2$番目に大きな不満，それが同じであれば$3$番目の不満といった具合に比較する．\\
\quad もっとも好ましい配分に対する最大の不満を$M$とすると，$M=-[$25$][$26$]$であることが分かる．最大の不満が$M$である配分に対して$2$番目に大きな不満を$M^{\prime}$とすると，$M^{\prime}=-[$27$][$28$]$であることが分かる．以上のことからもっとも好ましい配分は
\[ x=[$29$][$30$],\quad y=[$31$][$32$],\quad z=[$33$][$34$] \]
である．
\setstretch{1.3}
国立 北海道大学 2011年 第4問$n$を$2$以上の自然数，$q$と$r$を自然数とする．$1$から$nq$までの番号がついた$nq$個の白玉，$1$から$nr$までの番号がついた$nr$個の赤玉を用意する．これら白玉と赤玉を，$1$番から$n$番まで番号づけられた$n$個の箱それぞれに，小さい番号から順に白玉は$q$個ずつ，赤玉は$r$個ずつ配分しておく．たとえば，$1$番目の箱には番号$1$から$q$の白玉と番号$1$から$r$までの赤玉が入っている．これら$n(q+r)$個の玉を$n$個の箱に以下のように再配分する．$1$番の箱から$1$個の玉を取り出して$2$番の箱に移し，次に$2$番の箱から$1$個の玉を取り出して$3$番の箱に移す．同様の操作を順次繰り返し最後に$n$番の箱に$1$個の玉を移して終了する．このようにして実現され得る再配分の総数を$s_n$とし，$n$番の箱の白玉が$q+1$個であるような再配分の総数を$a_n$とする．
(1)$s_2$を求めよ．
(2)$s_3$と$a_3$を求めよ．
(3)$s_4$と$a_4$を求めよ．
(1)$s_2$を求めよ．
(2)$s_3$と$a_3$を求めよ．
(3)$s_4$と$a_4$を求めよ．
国立 北海道大学 2011年 第4問$n$を2以上の自然数，$q$と$r$を自然数とする．1から$nq$までの番号がついた$nq$個の白玉，1から$nr$までの番号がついた$nr$個の赤玉を用意する．これら白玉と赤玉を，1番から$n$番まで番号づけられた$n$個の箱それぞれに，小さい番号から順に白玉は$q$個ずつ，赤玉は$r$個ずつ配分しておく．たとえば，1番目の箱には番号1から$q$の白玉と番号1から$r$までの赤玉が入っている．これら$n(q+r)$個の玉を$n$個の箱に以下のように再配分する．1番の箱から1個の玉を取り出して2番の箱に移し，次に2番の箱から1個の玉を取り出して3番の箱に移す．同様の操作を順次繰り返し最後に$n$番の箱に1個の玉を移して終了する．このようにして実現され得る再配分の総数を$s_n$とし，$n$番の箱の白玉が$q+1$個であるような再配分の総数を$a_n$とする．
(1)$a_3$と$a_3$を求めよ．
(2)$s_n$を求めよ．
(3)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(4)$a_n$を求めよ．
(1)$a_3$と$a_3$を求めよ．
(2)$s_n$を求めよ．
(3)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(4)$a_n$を求めよ．