関数$y=(x-2)e^x$のグラフを$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=(x-2)e^x$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{t \to \infty}\frac{t}{e^t}=0$を用いてもよい．
(2)$C$と$x$軸の共有点と，$C$の変曲点を通る直線を$\ell$とおく．$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$y=f(x)$は$0$以上の実数$x$に対して定義され，正の値をとる関数である．図はこの関数のグラフの一部を表している．$0 \leqq t<u$を満たす$2$つの実数$t$と$u$に対して，$x$軸，$2$つの直線$x=t$，$x=u$とこのグラフとで囲まれた領域（網掛け部分）の面積を$S(t,\ u)$と書くことにする．また，面積が$S(t,\ u)$と等しい長方形$\mathrm{ATUB}$を図のようにとり，その高さ$\mathrm{AT}$を$g(t,\ u)$で表すとき，$g(t,\ u)$は$t,\ u$の式として次のようになった．
\[ g(t,\ u)=t^2+tu+u^2+t+u+5 \]
以下の問に答えなさい．

(1)$S(1,\ 3)$を求めなさい．
(2)$S_0(x)=S(0,\ x)$とおく．このとき，$g(t,\ u)$を関数$S_0(x)$を用いて表しなさい．
(3)正の実数$x$に対して，$f(x)$を求めなさい．
（図は省略）

$1,\ 2,\ 3$の$3$種類の数字を使ってできる正の整数を小さい方から順に並べた列を$(S)$とする：
\[ (S):\qquad 1,\ 2,\ 3,\ 11,\ 12,\ 13,\ 21,\ 22,\ 23,\ 31,\ \cdots \]
さらに，この列の区切りをなくして，すべての数字を一列に並べたものを$(T)$とする：
\[ (T):\qquad 12311121321222331 \cdots \]
次の各問に答えよ．

(1)$(S)$において，$12$は$5$番目の整数である．$312$は何番目の整数になるか求めよ．
(2)$(S)$において，$2010$番目の整数を求めよ．
(3)$(T)$において，初めて$2$が$3$個連続して並ぶ部分の最初の$2$は$12$番目の数字である．初めて$1$が$2n+1$個連続して並ぶ部分の最初の$1$は何番目の数字になるか求めよ．ただし，$n$は自然数とする．

赤玉$n$個，白玉$n$個，合計$2n$個（$n \geqq 2$）の玉を無作為に左から$1$列に並べるとき，得点$X$を次のように定める．

(i) 赤玉が連続している部分が$m$ヶ所（$m \geqq 1$）あり，そこに含まれる赤玉の総数が$l$であるとき，$X=l-m+1$とする．
(ii) 赤玉が連続している部分がないときは，$X=1$とする．

たとえば，$n=5$のとき，赤赤白赤赤白赤白白白ならば，$X=4-2+1=3$である．

(1)$n=6$のとき，並べ方は全部で何通りあるか求めよ．また，このとき$X=1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$となる並べ方はそれぞれ何通りあるか求め，$X$の期待値$E(X)$を求めよ．
(2)$n=k (k \geqq 7)$のとき，$X=3,\ 4$となる並べ方の総数をそれぞれ$k$を用いて表せ．