曲線$C:y=e^x$上の点P$(t,\ e^t)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点をQとする．さらに，Qを通り$\ell$に直交する直線と$C$との交点をRとする．以下の問いに答えよ．

(1)点Qの$x$座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\triangle$PQRの外心が$y$軸上にあるときの$t$の値を求めよ．
(3)$t$を(2)で求めた値とするとき，直線PQ，QRと$C$とで囲まれる部分を$x$軸の周りに1回転して得られる回転体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=2x-2^x$の概形を描け．
(2)曲線$y=2x-2^x$と$x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

原点をOとする座標平面上，長方形ABCDが図のように頂点Aは$y$軸の正の部分に，頂点Bは$x$軸の正の部分に，頂点C，Dは第1象限内におかれている．$\text{AB}=2,\ \text{BC}=1$とし$\angle \text{OAB}=t$とおく．ただし，$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)長方形ABCDの周で$y \leqq 1$にある部分の長さを$f(t)$とおく．$f(t)$を求めよ．
(2)$f(t)=3$が成り立つときの$\cos t,\ \sin t$の値を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$f(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

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（図は省略）

$xy$平面上の放物線$y=x^2$の$x \geqq 0$の部分を$C$とし，$C$上の点P$(x,\ y)$と点A$(0,\ a)$の間の距離をAPで表す．次の問いに答えよ．

(1)APを$a$と$y$を用いて表せ．
(2)Pが$C$上を動くとき，$\text{AP}^2$を最小にするPをP$_0$とする．P$_0$が原点Oと異なるような$a$の範囲を求め，そのときのP$_0$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)(2)のP$_0$に対して，$\triangle$OP$_0$Aの内角$\angle \text{OP}_0 \text{A}$の大きさを$\theta$とするとき，$\tan \theta=2\sqrt{2}$となる$a$の値を求めよ．

放物線$C:y=-x^2+1$と直線$\ell:y=a$がある．ただし，$0<a<1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle S = \frac{\sqrt{2}}{3}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$y = |-x^2+1|$のグラフを描け．
(5)$\displaystyle S = \frac{\sqrt{2}}{3}$のとき，曲線$y=|-x^2+1|$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

原点を中心とする半径1の円を$C_1$とする．$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たす定数$\theta$に対して，$C_1$上に点P$(\sin \theta,\ \cos \theta)$，点Q$(-\cos \theta,\ -\sin \theta)$，点R$(-\sin \theta,\ -\cos \theta)$をとる．さらに，Pを中心とし，Qを通る円を$C_2$，Rを中心とし，Qを通る円を$C_3$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C_2$と$C_3$の2つの交点のうち，Qと異なる点をSとする．このとき，$C_1$はSを通ることを証明せよ．
(2)Sの座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$C_2$と$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面の$x$軸の正の部分を始線にとり，角${\theta_n}^\circ \geqq 0 \ $(度数法)の動径と単位円との交点を$\mathrm{P}_n$とする．$\theta_1=0$のとき，次の問いに答えよ．

(1)$\{ \theta_n \}$は等差数列とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{10}$が単位円の周上を正の向きにちょうど$1$周して$\mathrm{P}_{10}=\mathrm{P}_1$となるとき，数列$\{ \theta_n \}$の公差を求めよ．
(2)$\{ \theta_n \}$は，$\theta_{n+1}-\theta_n=n+d$を満たす数列とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_k \ (k \geqq 2)$が単位円の周上を正の向きにちょうど$1$周して$\mathrm{P}_k=\mathrm{P}_1$となるとき，$d$を$k$を用いて表せ．
(3)$\{ \theta_n \}$は，(2)の数列とする．$k=6$のとき，$\mathrm{P}_n=\mathrm{P}_1$を満たす$n \ (n \geqq 7)$をひとつ求めよ．

曲線$y=-x^2$を$C_1$とし，点$(1,\ -1)$での$C_1$の接線を$\ell$とする．また，点$(0,\ 2)$と点$(1,\ -1)$を通り，点$(1,\ -1)$での接線が$\ell$となる曲線$y=ax^2+bx+c$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)正の定数$k$について，直線$y=-kx$と$C_1$で囲まれた部分の面積と，直線$y=-kx$と$C_2$で囲まれた部分の面積が等しいとき，$k$の値を求めよ．

曲線$y=-x^2$を$C_1$とし，点$(1,\ -1)$での$C_1$の接線を$\ell$とする．また，点$(0,\ 2)$と点$(1,\ -1)$を通り，点$(1,\ -1)$での接線が$\ell$となる曲線$y=ax^2+bx+c$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)正の定数$k$について，直線$y=-kx$と$C_1$で囲まれた部分の面積と，直線$y=-kx$と$C_2$で囲まれた部分の面積が等しいとき，$k$の値を求めよ．

曲線$y=-x^2$を$C_1$とし，点$(1,\ -1)$での$C_1$の接線を$\ell$とする．また，点$(0,\ 2)$と点$(1,\ -1)$を通り，点$(1,\ -1)$での接線が$\ell$となる曲線$y=ax^2+bx+c$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)正の定数$k$について，直線$y=-kx$と$C_1$で囲まれた部分の面積と，直線$y=-kx$と$C_2$で囲まれた部分の面積が等しいとき，$k$の値を求めよ．