曲線$y=2x \sin x \cos x$を$C_1$とし，曲線$y=x \cos x$を$C_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$において，$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標をすべて求めよ．
(2)(1)で求めた$x$座標の中で最大の値を$a$とする．区間$[\,0,\ a \,]$において，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を正の実数とし，$f(x)=x^3-3a^2x$とおく．曲線$C:y=f(x)$の原点Oにおける接線を$\ell_1$，原点以外の任意の点P$(p,\ f(p))$における接線を$\ell_2$とし，2つの直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点をQとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)2直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)点Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$OPQは曲線$C$によって2つの部分に分けられる．このうち，曲線$C$と線分OPで囲まれた図形の面積を$S$，曲線$C$と2直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$は一定であることを示せ．

曲線$\displaystyle C_1:y=\sin 2x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形が，曲線$\displaystyle C_2:y= k\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\ k \text{は正の定数} \right)$によって2つの部分に分割されているとする．そのうちの，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$と$C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)2曲線$C_1,\ C_2$の，点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$k$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$S_1=2S_2$のとき，$k$の値を求めよ．

曲線$\displaystyle C_1:y=\sin 2x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形が，曲線$\displaystyle C_2:y= k\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\ k \text{は正の定数} \right)$によって2つの部分に分割されているとする．そのうちの，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$と$C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)2曲線$C_1,\ C_2$の，点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$k$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$S_1=2S_2$のとき，$k$の値を求めよ．

$A,\ A^\prime$をそれぞれ座標平面上の点$(\alpha \cos \theta,\ \alpha \sin \theta)$，$(-\alpha \cos \theta,\ -\alpha \sin \theta)$とし，$f$を行列
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \biggr) \]
の表す1次変換とする．$\displaystyle \alpha= \left( \frac{45}{4} \right)^{\frac{1}{6}},\ r=\left( \frac{10}{3} \right)^{\frac{1}{6}},\ \theta=\frac{\pi}{6}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)2点A，A$^{\prime}$の逆変換$f^{-1}$による像を焦点とし，焦点からの距離の差が2に等しい双曲線$C_1$の方程式を求めなさい．
(2)2点A，A$^\prime$の合成関数$f \circ f$による像を焦点とし，直線$x+2y=0$を漸近線にもつ双曲線$C_2$の方程式を求めなさい．
(3)双曲線$C_1$と$C_2$により囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めなさい．

次の問に答えよ．

(1)関数$y=|x^2-1|$のグラフの概形をかけ．
(2)$a>1$とする．曲線$y=|x^2-1|$と$x$軸，$y$軸および直線$x=a$とで囲まれた図形において，$0 \leqq x \leqq 1$の部分を$S_1$とし，$1 \leqq x \leqq a$の部分を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とする．$V_1,\ V_2$を求めよ．
(3)$V_1=V_2$となるとき，$a$の値を求めよ．

$a>0$とする．曲線$y=\log x$と直線$y=x$および2直線$x=a,\ x=a+1$で囲まれた部分の面積を$S$とする．

(1)$x>0$のとき，$x > \log x$であることを示せ．
(2)$S$を$a$で表せ．
(3)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$S$の最小値を求めよ．

$a>0$とする．曲線$y=\log x$と直線$y=x$および2直線$x=a,\ x=a+1$で囲まれた部分の面積を$S$とする．

(1)$x>0$のとき，$x > \log x$であることを示せ．
(2)$S$を$a$で表せ．
(3)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$S$の最小値を求めよ．

$k$は正の定数とし，$f(x)=e^{k \sin x}\cos x$とする．曲線$C$を，$y=f(x)$のグラフの$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対応する部分とする．

(1)$t$の関数$g(t)$は，$f^{\prime}(x)=e^{k \sin x}g(\sin x)$を満たすものとする．このとき$g(t)$を求め，さらに$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲における$g(t)=0$の解を求めよ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において$f(x)$が最大となるときの$f(x)^2$の値を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸に囲まれた部分の面積を求めよ．

$a,\ b$は実数で，$a>1$とする．$t$の関数
\[ f(t)=2t^3-3(a+1)t^2+6at+b \]
について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(t)$の極値を，$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$a$の値を$x$座標，$b$の値を$y$座標とする$xy$平面上の点P$(a,\ b)$を考える．このとき，3次方程式$f(t)=0$が相異なる3つの実数解をもつような点P$(a,\ b)$の存在する領域$D$を$xy$平面上に図示せよ．
(3)$D$および$D$の境界からなる領域を$E$とする．領域$E$のうち，
\[ y \leqq -x^2+4x-11 \]
を満たす部分の面積を求めよ．