次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\sin^2 x}{x}$の導関数を求めよ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3$に対して，$\displaystyle a_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x} \, dx$とおく．連立不等式
\[ \frac{\pi}{2} \leqq x\leqq 2\pi,\quad 0 \leqq y \leqq |\displaystyle\frac{\sin x|{x}} \]
によって表される領域の部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$a_1$，$a_2$，$a_3$を用いて表せ．

$2$つの曲線$C_1:y=x \log x$，$C_2:y=2x \log x$について，次の問いに答えよ．ただし，$x>0$である．

(1)$C_1$と$C_2$に共通する接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_1,\ C_2$および$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

放物線と直線に関して，以下の問いに答えよ．

(1)放物線$y=x^2$と直線$y=k (k>0)$で囲まれた部分の面積$S(k)$を$k$を用いて表せ．
(2)放物線$y=1-x^2$と$x$軸とで囲まれた部分を直線$\displaystyle y=a \left( 0<a<\frac{1}{2} \right)$を折り目として折り返す．

(i) 重なっていない部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(ii) 重なっていない部分のうちで，$x$軸の下側にある部分の面積を$S^\prime$とする．$S=2S^\prime$となる$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の$3$点$(-2,\ 16)$，$(1,\ 1)$，$(5,\ 9)$を通る放物線$C$をグラフとする$2$次関数を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}(4,\ 0)$と放物線$C$上を動く点$\mathrm{P}$がある．このとき，線分$\mathrm{AP}$を$2:1$に外分する点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$の軌跡が描く曲線$D$と放物線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$2$次方程式$x^2+ax+b=0$は$2$つの複素数解$\alpha+i \beta$と$\alpha-i \beta$を持ち，$\alpha$と$\beta$は実数で，$\beta>0$とする．ただし，$i$は虚数単位である．次の問に答えなさい．

(1)$\alpha$と$\beta$を$a$と$b$を用いて表しなさい．
(2)$\alpha=\beta$であるとき，$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフと，この放物線の軸，$x$軸，$y$軸とで囲まれる部分の面積を$\alpha$を用いて表しなさい．

$n$を$5$以上の整数とする．座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円$C_1$と，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．$C_2$が$C_1$に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき，$C_2$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を考える．はじめに$\mathrm{A}$は$(n+1,\ 0)$，$\mathrm{P}$は$(n,\ 0)$の位置にあるものとする．$\mathrm{P}$が$(n,\ 0)$から出発し，再び$(n,\ 0)$に戻るまで，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．線分$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の部分のなす角が$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$であるときの$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ．
(3)$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)座標平面上で，点$(1,\ 2)$を通り傾き$a$の直線と放物線$y=x^2$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$a$が$0 \leqq a \leqq 6$の範囲を変化するとき，$S(a)$を最小にするような$a$の値を求めよ．
(2)$\triangle$ABCにおいて$\text{AB}=2,\ \text{AC}=1$とする．$\angle \text{BAC}$の二等分線と辺BCの交点をDとする．$\text{AD}=\text{BD}$となるとき，$\triangle$ABCの面積を求めよ．

$a>1$を定数とする．3つの放物線$\displaystyle y=x^2,\ y=\frac{1}{2}x^2,\ y=ax^2$の$x \geqq 0$の部分をそれぞれ，$C,\ C_1,\ C_2$とする．$C$上の点Pから$x$軸に下ろした垂線と2曲線$C,\ C_1$で囲まれた領域を$D_1$とする．Pから$y$軸に下ろした垂線と2曲線$C,\ C_2$で囲まれた領域を$D_2$とする．

(1)領域$D_1,\ D_2$の面積をそれぞれ$S_1,\ S_2$とする．点Pのとり方によらず常に$S_1=S_2$となるような$a$の値を求めよ．
(2)領域$D_1,\ D_2$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とする．点Pのとり方によらず常に$V_1=V_2$となるような$a$の値を求めよ．

曲線$C : y = -x^2-1$を考える．

(1)$t$が実数全体を動くとき，曲線$C$上の点$(t,\ -t^2-1)$を頂点とする放物線
\[ y =\frac{3}{4}(x-t)^2-t^2-1 \]
が通過する領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)$D$を(1)で求めた領域の境界とする．$D$が$x$軸の正の部分と交わる点を$(a,\ 0)$とし，$x = a$での$C$の接線を$\ell$とする．$D$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を正の実数とする．放物線$P:y = x^2$上の点A$(a,\ a^2)$における接線を$\ell_1$とし，点Aを通り$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．また，$\ell_2$と放物線$P$との交点のうちAではない方をB$(b,\ b^2)$とする．さらに，点Bを通り$\ell_1$に平行な直線を$\ell_3$とし，$\ell_3$と放物線$P$との交点のうちBではない方をC$(c,\ c^2)$とする．

(1)$b+c = 2a$であることを示せ．
(2)放物線$P$と$\ell_3$で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表し，$S$が最小になるときの$S$と$a$の値を求めよ．