座標平面内において，楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{3}=1$の$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の部分の曲線を$C$とする．$x_0>0,\ y_0>0$とし，曲線$C$上に点P$(x_0,\ y_0)$をとり，点Pにおける曲線$C$の法線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と$x$軸との交点を$(x_1,\ 0)$とするとき，$x_1$を$x_0,\ y_0$を用いて表せ．
(2)$x_0=\cos \theta,\ y_0=\sqrt{3}\sin \theta$と表す．このとき，曲線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積$S(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，(2)で求めた面積$S(\theta)$の最大値を求めよ．

2つの関数$f(t)=t \log t$と$g(t)=t^3-9t^2+24t$が与えられているとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(t)$は$t \geqq 1$の範囲で単調に増加することを示せ．
(2)$t \geqq 1$のとき
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x=f(t) \\
y=g(t)
\end{array}
\right. \]
と媒介変数表示される関数$y=h(x)$の$x \geqq 0$の範囲における増減を調べて，極大値と極小値を求めよ．
(3)$xy$平面上で，曲線$y=h(x)$，2直線$x=f(2),\ x=f(4)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

放物線$C_1:y=x^2-4x+a$と曲線$C_2:y=6 \log x$とが点Pで接している．ただし，$a$は実数とする．

(1)$a$の値，およびPの座標を求めよ．
(2)Pにおける$C_1,\ C_2$の接線を$\ell$とする．このとき，$\ell$，$x$軸，および$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

点Q，Rを$xy$平面上の放物線$C:y=x^2$上の相異なる点とする．

(1)$q<p^2$を満たす実数$p,\ q$に対して，点P$(p,\ q)$を考える．Q，Rにおける$C$の2本の接線がともにPを通るとき，$C$とこれらの接線で囲まれた部分の面積を，$p,\ q$を用いて表わせ．
(2)(1)で求めた面積を$S_1$とする．直線QRと$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．

関数$f(x)=x^2-2 |2x-1|+2$について，以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフに，異なる$2$点で接する直線を求めよ．

数列$\{a_n\}$の一般項を
\[ a_n=\int_0^{n\pi} e^{-x} \sin x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\sin x=(-\cos x)^\prime$を用いた部分積分法により，
\[ a_n=A_n-\int_0^{n\pi} e^{-x} \cos x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となるときの$A_n$を求めよ．
(2)(1)で求めた$A_n$について，$\displaystyle a_n=\frac{A_n}{2}$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

$a$を正の定数とする．原点をOとし，曲線$y=x^3$上に点P$(a,\ a^3)$をとり，線分OPと曲線によって囲まれた部分をAとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)Aを$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)Aを$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．
(3)直線OPの傾きを$m$とするとき，$\displaystyle \frac{mW}{V}$の値を求めよ．

実数$x$に対して，$n \leqq x<n+1$を満たす整数$n$を$[x]$と書く． \\
以下の問に答えなさい．
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(1)$2$つの等式$[x]=1,\ [y]=1$が表す領域を図示しなさい．
補足：$2$つの等式$[x]=1,\ [y]=1$が表す領域とは，$[x]=1$ \\
および$[y]=1$を同時に満たす点$(x,\ y)$の全体のことである．
(2)等式$[y]=[x]$が表す領域を図示しなさい．
(3)右の図の斜線で示された領域$A$を表す等式を求めなさい．ただし，領域$A$には，斜線部分の境界上の点線で示された部分および白丸で表された点は含まれない．

$2$次方程式$x^2+ax+b=0$は$2$つの複素数解$\alpha+i \beta$と$\alpha-i \beta$を持ち，$\alpha$と$\beta$は実数で，$\beta>0$とする．ただし，$i$は虚数単位である．次の問に答えなさい．

(1)$\alpha$と$\beta$を$a$と$b$を用いて表しなさい．
(2)$\alpha=\beta$であるとき，$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフと，この放物線の軸，$x$軸，$y$軸とで囲まれる部分の面積を$\alpha$を用いて表しなさい．

放物線$y=x^2+2x$と直線$y=-x+4$について，次の問いに答えなさい．

(1)放物線と直線のグラフを描きなさい．
(2)放物線と直線の交点の座標を求めなさい．
(3)放物線と直線によって囲まれた部分の面積を求めなさい．