直線$L:y=ax+b$と放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2+x$が異なる$2$点で交わり，$L$と$C$とで囲まれる部分の面積は$1$であるとする．

(1)$b$を$a$で表せ．
(2)$a$が実数全体を動くとき，$b$の最大値を求めよ．

$x$の$2$次関数$\displaystyle f(x)=x^2-2tx+\frac{t^2}{2}-1$について，以下の問いに答えよ．

(1)$x \leqq 1$のとき，$f(x)$の最小値を$g(t)$とする．$g(t)$を$t$の式で表せ．
(2)$s=g(t)$のグラフを座標平面上にえがけ．
(3)$s=g(t)$のグラフと$t$軸および$s$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$y=x^2-2x$と$x$軸に囲まれた部分と，この曲線と直線$x=a$と$x$軸で囲まれた部分の面積が等しくなる定数$a$の値を求めよ．ただし，$a>2$とする．

$f(x)=x(1-\log x) (x>0)$とする．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．

(1)$xy$平面において，$y=f(x)$の増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$である．
(2)$xy$平面において，曲線$y=f(x)$が$x$軸の正の部分と交わる点における曲線の接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$xy$平面において，点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を通り，傾きが正である直線$\ell$が放物線$y=x^2$と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わり，$\mathrm{AP}:\mathrm{AQ}=1:4$であるとする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$y=x^2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$2$つの放物線$y=-(x+1)^2+4$と$y=(x-1)^2$の交点の$x$座標は$x=[　]$である．また，これら$2$つの放物線で囲まれた部分の面積は$[　]$である．

$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2-6x+12,\quad C_2:y=x^2+6x+8 \]
の頂点同士を結ぶ直線を$\ell$とする．

(1)$C_1$の頂点の座標は$([ア],\ [イ])$であり，$C_2$の頂点の座標は$(-[ウ],\ -[エ])$である．
(2)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{[オ]}{[カ]}x+[キ]$となる．
(3)$C_1$と$\ell$との交点の$x$座標は$[ク]$，$\displaystyle \frac{[ケコ]}{[サ]}$，$C_2$と$\ell$との交点の$x$座標は$-[シ]$，$\displaystyle -\frac{[ス]}{[セ]}$である．$C_1$と$\ell$とで囲まれた部分の面積と，$C_2$と$\ell$とで囲まれた部分の面積との和は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$となる．

関数
\[ y=f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-x^2-12x & (x<0) \\
3x^2-12x+a & (0 \leqq x)
\end{array} \right. \]
を考える．関数$y=f(x)$の区間$0 \leqq x \leqq 6$における最小値が$-12$であるという．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a$の値は$[ア]$である．
(2)$f(x)=0$となる$x$の値を小さい方から並べると$x=[イウエ],\ [オ],\ [カ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(k,\ -k^2-12k)$（$k<0$とする）における接線$\ell$が点$(-1,\ 15)$を通るという．このとき，$k$の値は$[キク]$である．
(4)接線$\ell$と曲線$y=f(x)$の共有点は点$\mathrm{P}$と$([ケ],\ [コサ])$で，接線$\ell$と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積は$[シス]$である．

$0<a<2$，$f(x)=x^5-a^4x$とする．

(1)曲線$y=f(x) (a \leqq x \leqq 2)$と直線$x=2$および$x$軸で囲まれる部分の面積$S(a)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる$2$つの部分の面積の和$T(a)$を求めよ．
(3)$S(a)+T(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

$2$つの放物線$y=-x^2+2x+3$，$y=x^2-1$について，以下の問題に答えよ．

(1)$2$つの放物線を座標平面上に図示し，交点の座標を求めよ．
(2)$2$つの放物線に囲まれた部分の面積を求めよ．