次の方程式で表される曲線$C$を考える．
\[ C:|x-100|=y |y-3|e^y \]

(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \log x \, dx$および$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} (\log x)^2 \, dx$を求めよ．
(2)実数$a$に対して，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}(a+\log x) \ (1 \leqq x \leqq e)$と$x$軸および2直線$x=1,\ x=e$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V$とする．$V$を$a$を用いて表せ．また，$a$が実数全体を動くとき，$V$を最小とする$a$の値を求めよ．

$x$の$2$次関数$f(x)$が条件$f(0)=3$，$f^\prime(0)=-2$，$f^\prime(3)=4$を満たすとする．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$に点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ 0 \right)$から$2$本の接線を引いたとき，それぞれについて接線の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$および$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$C:y=e^{2x}$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^{2t})$における接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{Q}$が$x$軸の正の部分にあるような$t$の範囲を求めなさい．
(2)$t$が前問の範囲にあるとき，$C$および$3$直線$\ell,\ y=0,\ x=0$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めなさい．

関数$f(x)=x^2-x-2 |x|$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=mx$と$y=f(x)$とが異なる2つの共有点をもつような$m$の値の範囲を求めよ．
(3)$y=mx$と$y=f(x)$とが異なる3つの共有点をもつとき，これらにより囲まれる2つの部分の面積の和$S$を$m$で表せ．
(4)$S$の最小値とそのときの$m$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において次の不等式を解け．
\[ \sin x+\cos 2x \geqq 0 \]
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，曲線$y=\sin x$と曲線$y=-\cos 2x$および直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{2}$が囲む図形の面積$S$を求めよ．
(3)上の図形の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

曲線$C_1:y=\sqrt{x} |\log x|$と曲線$C_2:y=\sqrt{x}$がある．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．

(1)関数$f(x)=\sqrt{x} \log x$の増減，極値を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}\sqrt{x} \log x=0$であることを用いてよい．
(2)曲線$C_1,\ C_2$は$x>0$において$2$つの交点をもつ．それらの座標を求めよ．
(3)(2)で求めた交点の$x$座標を$a,\ b \ (a<b)$とする．曲線$C_1,\ C_2$の$a \leqq x \leqq b$の部分が囲む図形の面積$S$を求めよ．

原点を中心とする楕円$C$が媒介変数$t$を用いて
\[ x=2 \sin \left( t+\frac{\pi}{3} \right),\quad y=2 \sin t \]
と表される．ただし，$t$は$0 \leqq t \leqq 2\pi$とする．

(1)楕円$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$と原点の距離を$l$とする．$l^2$を媒介変数$t$を用いて表せ．
(2)楕円$C$の長軸の長さを求めよ．また，長軸と$x$軸のなす角度$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(3)楕円$C$の第$1$象限にある部分と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$3$つの数$2^{10}-1,\ 3^{10}-1,\ 4^{10}-1$の積を$y=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)$として，全体集合$U$と部分集合$A,\ B$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
U=\{ x \;|\; x \text{は}y \text{の正の約数} \} \\
A=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}44 \text{の倍数} \} \\
B=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}45 \text{の倍数} \}
\end{array} \]
このとき，部分集合$A \cap \overline{B}$に属する要素は，全部で何個あるか．
以下，数列$a_n=4^n-1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
(2)次の命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
\underline{命題$\mathrm{P}$} \quad $n$が$3$で割り切れることは，$a_n$が$9$で割り切れるための十分条件である．
(3)命題$\mathrm{P}$において，十分条件を必要十分条件に書きかえて，命題$\mathrm{Q}$をつくる．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．
(4)$9$と$11$のうち，どちらか一方の数で割り切れるけれども，他方の数では割り切れないような$a_n$だけを取り出し，残りはすべて取り去る．こうして得られる$a_n$の部分列を小さい順に並べると，$23$番目の項は元の数列では第$k$項になるという．番号$k$を求めよ．

弧度法で表された$\theta$に対し，$M(\theta)=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\displaystyle\frac{1}{2}\sin \theta \\
2 \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とし，楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}=1$を$C$とする．

(1)$M(\theta)$で表される$1$次変換により$C$上の点は$C$上の点に移ることを示せ．
(2)弧度法で表された$\alpha,\ \beta$は$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{4}$，$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{4}$を満たしているとし，$M(\alpha)$で表される$1$次変換により点$(\cos \beta,\ 2 \sin \beta)$が移される点を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線と$C$で囲まれる部分のうち，原点$\mathrm{O}$を含まない方の面積$S$を求めよ．