$xy$平面上の曲線$C:y=\log x$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0$を$t$を用いて表せ．
(3)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=t$とで囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(4)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および接線$\ell$とで囲まれる部分の面積を$T(t)$とする．$T(t)$を$t$を用いて表せ．
(5)$1<t \leqq e^3$の範囲において，$f(t)=T(t)-S(t)$とおく．このとき，関数$f(t)$の増減を調べ，$f(t)$の最大値および最小値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることは既知としてよい．

$x>0$において関数
\[ f(x)=\sin (\log x) \]
を考える．\\
方程式$f(x)=0$の$0<x \leqq 1$における解を大きいほうから順にならべて，
\[ 1=\alpha_1>\alpha_2>\alpha_3>\cdots > \alpha_n>\alpha_{n+1} > \cdots \]
とする．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．

(1)不定積分$I(x),\ J(x)$をそれぞれ
\[ I(x)=\int e^x \sin x \, dx,\quad J(x)=\int e^x \cos x \, dx \]
とおくとき，$I(x)+J(x),\ I(x)-J(x)$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$\alpha_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(4)区間$\alpha_{n+1} \leqq x \leqq \alpha_n$において，曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$S_n$を求めよ．
(5)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和$S$を求めよ．

$2$つの関数$f(x)=x^2-x,\ g(x)=ax$がある．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$y=f(x)$の極値を求め，グラフをかけ．
(2)$y=|f(x)|$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．

直線$\ell:y=2x$の法線ベクトルを$\overrightarrow{n}=(a,\ b)$とし，点P$(x,\ y)$と直線$\ell$との距離を$h$とする．ただし，$|\overrightarrow{n}|=1$で，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{n}$の成分$a,\ b$を求めよ．
(2)原点をOとし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$h$を$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$と$\theta$を用いて表せ．また，$h$を$x,\ y$を用いて表せ．

以下では，曲線$C$を，点A$(1,\ 0)$と直線$\ell$からの距離が等しい点P$(x,\ y)$の軌跡とする．

\mon[(3)] 曲線$C$の方程式($x,\ y$の関係式)を求めよ．
\mon[(4)] 曲線$C$と直線$y=t \ (t \text{は定数})$との共有点の個数を求めよ．
\mon[(5)] 曲線$C$と直線$y=t$が2個の共有点Q，Rをもつとき，線分QRの長さを$t$を用いて表せ．
\mon[(6)] 曲線$C$と直線$y=0$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

$2$つの関数$f(x)=x^2-x,\ g(x)=ax$がある．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$y=f(x)$の極値を求め，グラフをかけ．
(2)$y=|f(x)|$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=3\sin x-\sin 3x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$のグラフは直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$に関して対称になることを示せ．
(2)$0<x<\pi$のとき，$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

曲線$C_1$は媒介変数$t$を用いて
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表されるとする．また，曲線$C_2$は
\[ x=t-\sin t,\quad y=1+\cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表されるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$は直線$y=1$に関して対称であることを示せ．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

放物線$y=x^2+2x$を$C_1$，放物線$y=x^2-2x+2$を$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$を$y=(x-p)^2+q$の形に変形せよ．また，$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

平面上の曲線$C$は媒介変数$t$を用いて，
\[ x=\cos t,\quad y=a \sin t+ b \cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表される．$a,\ b$は定数であり，$a>0$を満たす．以下の問に答えよ．

(1)曲線$C$の方程式を$x,\ y,\ a,\ b$を用いて表し，$y$について解け．
(2)曲線$C$が$x$軸，$y$軸と交わる点の座標を求めよ．

定数$a,\ b$がそれぞれ$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，以下の問に答えよ．

(3)$x,\ y$のそれぞれの最大値，最小値を求めよ．
(4)曲線$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に2点P$(2p,\ 2p^2)$，Q$(2q,\ 2q^2)$がある．ただし，$p<q$である．点Pにおける接線と点Qにおける接線の交点をA$(\alpha,\ \beta)$とする．また，放物線$C$と2直線PA，QAで囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$S$を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$S=9$かつ$\text{PA} \perp \text{QA}$のとき，$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．