曲線$C_1:y=(x-a)^2-4$と直線$\ell:y=2x-7$が点$\mathrm{P}$で接している．曲線$C_2$は，$y=-x^2$を平行移動した曲線で，$\mathrm{P}$を通り，直線$y=6$の$x<0$の部分に接している．ただし，$a$は実数とする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$C_2$の方程式を求め，$C_1$と$C_2$の共有点の座標をすべて求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)=x \sqrt{4-x^2}$に対し，曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)$f(x)$の増減を調べよ．ただし，$f(x)$の第$2$次導関数を調べる必要はない．
(2)$C$上の点$(1,\ \sqrt{3})$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C$の$0 \leqq x \leqq \sqrt{2}$の部分，直線$x=\sqrt{2}$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)$C$と$x$軸の$x \geqq 0$の部分で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

$y=e^{-\pi x} \sin (\pi x)$で定められた曲線を$C$とする．

(1)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で$C$の概形をかけ．ただし，凹凸を調べる必要はない．
(2)$n$を自然数とする．$C$の$n-1 \leqq x \leqq n$の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)$(2)$の$S_n$について，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の値を求めよ．

放物線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$がある．ただし，$a>b$とする．直線$\mathrm{AB}$と放物線とで囲まれる部分の面積を$S$とする．下の問いに答えなさい．

(1)$a=b+1$とするとき，$S$を求めなさい．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle S=\frac{1}{6}$という条件を満たしながら動くとき，線分$\mathrm{AB}$の中点の軌跡を求めなさい．

座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\sin \pi x \left( 0<x<\frac{1}{2} \right)$の上に点$\mathrm{P}(a,\ \sin \pi a)$をとる．点$\mathrm{P}$における$C$の接線と法線をそれぞれ$\ell$，$m$とする．$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}(0,\ q)$，$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}(r,\ 0)$とし，点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求め，$q$を$a$を用いて表せ．
(2)法線$m$の方程式を求め，$r$を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$C$，直線$m$，および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする．極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ．

座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\sin \pi x \left( 0<x<\frac{1}{2} \right)$の上に点$\mathrm{P}(a,\ \sin \pi a)$をとる．点$\mathrm{P}$における$C$の接線と法線をそれぞれ$\ell$，$m$とする．$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}(0,\ q)$，$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}(r,\ 0)$とし，点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求め，$q$を$a$を用いて表せ．
(2)法線$m$の方程式を求め，$r$を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$C$，直線$m$，および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする．極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ．

$f(x)=xe^{-x}$とし，関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする．また，$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする．ただし，$a$は$a>1$を満たす実数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S$に対して，$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ．

$f(x)=xe^{-x}$とし，関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする．また，$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする．ただし，$a$は$a>1$を満たす実数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$a=2$のとき$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$f(x)=xe^{-x}$とし，関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする．また，$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする．ただし，$a$は$a>1$を満たす実数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S$に対して，$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ．

区間$-1 \leqq x \leqq 1$において，$2$つの関数$f(x)=x+\sqrt{1-x^2}$，$g(x)=x-\sqrt{1-x^2}$を考える．曲線$C_1:y=f(x)$と曲線$C_2:y=g(x)$で囲まれた図形を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$C_1$は曲線$C_2$と原点に関して対称であることを示せ．
(3)区間$-1 \leqq x \leqq 1$において，$f(x)$と$-g(x)$の値の大小関係を調べよ．また，$g(x) \geqq 0$が成り立つような$x$の範囲を求めよ．
(4)図形$D$の$x \geqq 0$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．