$e$は自然対数の底とする．$f(x)=x \log x$（$x>0,\ \log x$は$x$の自然対数）とおく．$t>e$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$における接線の傾きが$\log t$となるとき，$\mathrm{A}$の$x$座標$a(t)$を求めなさい．
(2)$x \geqq 1$の範囲において，曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a(t)$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めなさい．
(3)$t \to \infty$のとき，$\displaystyle \frac{S(t)}{t^p \log t}$が$0$でない値に収束するような正の定数$p$の値を求めなさい．また，そのときの$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{t^p \log t}$を求めなさい．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-2x-2}{x+1}$について，次の各問に答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$f(x)$の極大値，極小値およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)放物線$y=x^2-ax+3$の頂点が直線$y=3x+5$上にあるとき，定数$a$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_9\sqrt{2}+\frac{1}{2}\log_9 \frac{1}{3}-\frac{3}{2}\log_9 \sqrt[3]6$を簡単にせよ．
(3)曲線$y=\sqrt{x-1}$上の点$(2,\ 1)$における接線を$\ell$とする．この曲線と$x$軸および接線$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が$A^2-4A+3E=O$を満たすとき，$a+d$の値を求めよ．ただし，$O$は零行列，$E$は単位行列である．

関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=x^2+\int_{-1}^1 f(t) \, dt$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上に2つの点P，Qがある．Pの$x$座標を$a$，Qの$x$座標を$b$とする．ただし，$a<b$とする．Pにおける$C$の接線と直交しPを通る直線を$\ell$，Qにおける$C$の接線と直交しQを通る直線を$m$，PとQを通る直線を$n$とする．$\ell$と$m$の交点をRとする．$\displaystyle \angle \text{PRQ}=\frac{\pi}{2}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle f(x)=x^2+\int_{-1}^1 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ．
(2)Rの$x$座標を$a$を用いて表せ．
(3)Rが$y$軸上にあるとき，$n$および$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

実数$\displaystyle t \left( 0 \leqq t \leqq \frac{5}{2} \right)$に対し，座標平面上の点P$(2t-5,\ 0)$とQ$(t,\ t^2)$を考える．

(1)放物線$y=x^2$の$0 \leqq x \leqq t$の部分と線分OPおよび線分PQで囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，Oは原点を表す．
(2)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{5}{2}$の範囲を動くとき，(1)で求めた面積の最大値を求めよ．

関数$f(x)=x^2-x-2$によって，方程式$y=f(x)$と表される放物線$P$について，以下の問いに答えよ．

(1)放物線$P$上の点$(0,\ -2)$における，放物線$P$の接線の方程式を求めよ．
(2)放物線$P$を，原点に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ．
(3)(1)で求めた接線と，(2)で求めた放物線で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円$C$を考える．円$C$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$，点$\mathrm{R} \displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた放物線と，線分$\mathrm{OP}$，線分$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)(2)で求めた部分の面積は，点$\mathrm{Q}$が弧の上にある扇形$\mathrm{OPR}$の面積より小さい．このことを用いて，円周率$\pi$に対して$\pi > 3.13$が成り立つことを示せ．ただし，$\sqrt{3}<1.733$であることを用いてよい．

曲線$C:y=\log x-1$の接線で原点を通るものを$\ell$とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)$C$と$x$軸の共有点の座標は$[　]$である．
(2)$C$と$\ell$の接点の座標は$[　]$である．
(3)$C$と$x$軸および$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とすると，$S=[　]$である．

$f(x)=x^3-2x^2-x+1$とする．

(1)方程式$f(x)=0$は$-1<\alpha<0$，$0<\beta<1$，$1<\gamma$をみたす$3$個の実数解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$をもつことを示せ．
(2)点$(0,\ 1)$における$y=f(x)$の接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と$\ell$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$C_1:y^2=4px$と$C_2:x^2-y^2=-q$（ただし，$p>0$，$q>0$）の二つの曲線が接するとき，次の問いに答えよ．

(1)$q$を$p$を用いて表せ．また接点の座標を$p$を用いて表せ．
(2)$\sqrt{x^2+q}+x=t$と置いたとき$x$を$t$で表せ．また不定積分$\displaystyle I=\int \sqrt{x^2+q} \, dx$を$x$から$t$への置換積分により，$t$の関数として求めよ．
(3)曲線$C_1$，$C_2$と$y$軸で囲まれた部分の面積を$p$で表せ．