平面上に$2$本の平行な直線の組が$n$組ある．異なる組の直線は平行ではなく，どの$3$本の直線も$1$点で交わることはないとする．これら$2n$本の直線の交点の総数を$a_n$，平面がこれら$2n$本の直線によって分けられている部分の個数を$b_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(2)$a_n$を求めよ．
(3)$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(4)$b_n$を求めよ．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \alpha<\beta \leqq \frac{\pi}{2}$かつ$R>0$とする．極座標$(r,\ \theta)$に関する条件
\[ 0 \leqq r \leqq R,\quad \alpha \leqq \theta \leqq \beta \]
により定まる図形を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$T$とする．$T$を$\alpha,\ \beta,\ R$を用いた式で表すと
\[ T=[あ] \]
である．
(2)極方程式$r=f(\theta) (0 \leqq \theta \leqq \alpha)$で表される曲線$C$と，$\theta=\alpha$で表される直線$\ell$および$x$軸の正の部分で囲まれた図形を$S$とする．ただし$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とし，関数$f(\theta)$は連続かつ$f(\theta)>0$をみたし，$0 \leqq \theta \leqq \alpha$において増加または減少または定数とする．
$S$を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$V(\alpha)$とすると
\[ \frac{d}{d\alpha}V(\alpha)=[い] \]
であり，したがって
\[ V(\alpha)=[う] \]
である．また$S$を直線$\ell$のまわりに回転させて得られる立体の体積を$W(\alpha)$とすると
\[ W(\alpha)=[え] \]
である．
(3)$(2)$において$f(\theta)=\sqrt[3]{\cos \theta}$とするとき$\displaystyle V \left( \frac{\pi}{4} \right)$，$\displaystyle W \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めると
\[ V \left( \frac{\pi}{4} \right)=[お],\quad W \left( \frac{\pi}{4} \right)=[か] \]
である．

$s,\ t$を実数とし，$0<s<1$とする．座標空間内の$3$点
\[ \begin{array}{l}
\mathrm{P}((2-s)+s \cos t,\ 0,\ (2-s)+s \sin t), \\ \\
\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ (2-s)+s \sin t \right), \\ \\
\mathrm{R}(0,\ 0,\ (2-s)+s \sin t)
\end{array} \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を含む平面の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を示せ．

点$\mathrm{Q}$は，点$\mathrm{R}$を中心とし$\mathrm{RP}$を半径とする円周上に存在する．このとき，弦$\mathrm{PQ}$に対する弧$\mathrm{PQ}$と，半径$\mathrm{RP}$および半径$\mathrm{RQ}$で囲まれる扇形を$C$とする．ただし，$C$の中心角$\angle \mathrm{PRQ}$は$\pi$以下とする．

(3)$C$の面積を$s$と$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{R}$の$z$座標の動く範囲を$s$を用いて表せ．
(5)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_1$を$s$を用いて表せ．
(6)$t$が$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{3\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_2$を$s$を用いて表せ．
(7)上の$(5)$，$(6)$の$V_1$，$V_2$に対して，$s$が$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq s \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くときの$V_1-V_2$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．

自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\frac{\log x}{x^n} \quad (x>0) \]
で定める．ただし，$\log$は自然対数を表す．

$t>1$とするとき，座標平面において曲線$y=f_n(x)$の$x \leqq t$の部分，$x$軸，直線$x=t$の$3$つで囲まれている図形の面積を$S_n(t)$とする．また，$4$点$(1,\ 0)$，$(t,\ 0)$，$(t,\ f_n(t))$，$(1,\ f_n(t))$を頂点とする長方形の面積を$T_n(t)$とする．

(1)関数$f_n(x)$が極大となるときの$x$の値と，そのときの$f_n(x)$の極大値を求めよ．
(2)$t$が$t>1$を動くとき，$T_n(t)-S_n(t)$が最大となる$t$の値を求めよ．
(3)$S_1(t)$と$S_n(t) (n \geqq 2)$を求めよ．
(4)各$n \geqq 2$に対して$T_n(t)=S_n(t)$となる$t (t>1)$がただ$1$つあることを示せ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$となることを用いてもよい．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=xe^{-2x}$の極値と曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の変曲点における接線，曲線$y=f(x)$および直線$x=3$で囲まれた部分の面積を求めよ．

点$\mathrm{H}$を中心，線分$\mathrm{BC}$を直径とする円を底面とし，点$\mathrm{O}$を頂点とする円錐を考える．ただし，線分$\mathrm{OH}$は底面に対して垂直であるとする．右側の図は円錐の表面の展開図の底面以外の部分である．左側の図のように底面に平行な平面で円錐を切断する．この切断面の円と母線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{A}$，母線$\mathrm{OC}$との交点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{OH}$との交点を$\mathrm{G}$とする．さらに，線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{E}$をとる．左側の図で線分の長さが$\mathrm{AD}=2$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{GH}=6 \sqrt{2}$，$\mathrm{AE}=3$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$の長さと，この展開図の扇形の中心角$\theta$の大きさを求めよ．
(3)円錐の表面上で，底面を横切らずに，点$\mathrm{B}$から母線$\mathrm{OC}$上の点を経て点$\mathrm{E}$に至る最短距離を，この展開図を利用して求めよ．
(4)母線$\mathrm{OC}$と$(3)$の最短距離を与える線の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．
（図は省略）

関数$f(x)=x^3-16x-2$について，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$を$y$軸方向に$6$だけ平行移動すると曲線$y=g(x)$となる．$g(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$を$x$軸方向に$2$だけ平行移動すると曲線$y=h(x)$となる．$h(x)$を求めよ．
(3)$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの交点の座標を求めよ．
(4)$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフに囲まれた部分の面積を求めよ．

定数$a,\ b$は$a>b>0$とし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．$2$曲線
\[ C_1:y=a \sin x,\quad C_2:y=b \cos x \]
の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \alpha,\ \sin \beta$と$\cos \alpha,\ \cos \beta$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$S=2 \sqrt{5}$，$a+b=3$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．

$a$を正の定数とする．$2$つの放物線

$y=x^2-ax+1$
$y=-x^2+(a+4)x-3a+1$

がある．

(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わる．その$x$座標を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta$および$\alpha\beta$を$a$を用いて表せ．
(2)$2$つの放物線で囲まれる部分の面積$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

関数$f(x)=|x(x+2)|$のグラフを$C$とする．次の$[　]$をうめよ．

(1)$k$を定数とし，直線$y=x+k$を$\ell$とする．$C$と$\ell$が共有点を持たないのは，$k$の値が$[$①$]$の範囲のときである．共有点が$1$個であるのは，$k$の値が$[$②$]$のときである．共有点が$2$個であるのは，$k$の値が$[$③$]$の範囲のときであり，共有点が$3$個であるのは，$k$の値が$[$④$]$のときであり，共有点が$4$個であるのは，$k$の値が$[$⑤$]$の範囲のときである．
(2)$C$と直線$y=1$とで囲まれる部分の面積を$S$とするとき，$S$の値は$S=[$⑥$](\sqrt{2}-1)$である．