実数$a$は$a>e$を満たすとし，曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$における接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(a)$とし，曲線$y=\log x$と$x$軸および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を求めよ．
(3)$T(a)=S_2(a)-S_1(a)$とおく．$e^2 \leqq a \leqq e^3$における$T(a)$の最大値と最小値を求めよ．

曲線$C:y=x^2+px+q$と$y$軸との交点をQとし，$x$座標$t$が正である曲線$C$上の点をPとする．点Pにおける曲線$C$の接線を$\ell$とする．曲線$C$，接線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$と直線PQで囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)$S_1$を$t$で表しなさい．
(3)$S_1:S_2$を求めなさい．

実数$a$は$a>e$を満たすとし，曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$における接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(a)$とし，曲線$y=\log x$と$x$軸および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を求めよ．
(3)$T(a)=S_2(a)-S_1(a)$とおく．$e^2 \leqq a \leqq e^3$における$T(a)$の最大値と最小値を求めよ．

点$\mathrm{O}$を座標平面の原点とする．$a,\ b$を正の実数とする．放物線$C_1:y=ax^2$と放物線$\displaystyle C_2:y=-(x-b)^2+\frac{5}{16}$は，共に，点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$において直線$\ell$に接しているとする．直線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{R}(x_0,\ 0)$とする．次の各問に答えよ．

(1)$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)線分の長さの比$\mathrm{OQ}:\mathrm{QR}$を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{4}$とする．$x$軸と$C_1$と$x \leqq x_0$の部分の$C_2$とで囲まれる図形の面積を求めよ．

次の小問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)実数$a,\ b$が$0 \leqq a \leqq \pi$，$a<b$をみたすとき，
\[ I(a,b) = \int_a^b e^{-x}\sin x\;dx \]
とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．
\[ \lim_{b \to \infty} I(a,\ b) = 0 \]
が成立するように$a$を定めよ．

(2)行列$A=
\begin{pmatrix}
\;\;\; a & b \;\;\;\; \\
\;\;\; c & d \;\;\;\;
\end{pmatrix}
$は$ad-bc=2$および$a+d=3$をみたし，かつ，ある行列
\[ B =
\begin{pmatrix}
\;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & 1 \;\;\;\;
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\;\;\; \alpha & 0 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & \beta \;\;\;\;
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & 1 \;\;\;\;
\end{pmatrix}^{-1}
\]
に対して$AB=BA$をみたしている．ただし$\alpha \neq \beta$とする．このような行列$A$をすべて求めよ．

(3)$c$を正の実数として，漸化式
\[ a_n = \frac{{a_{n-1}}^2}{3^n} \quad (n \geqq 1), \qquad a_0 = c \]
で定義される数列$\{a_n\}$を考える．このとき$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$となるような$c$の範囲を求めよ．
(4)実数$t$が$1 \leqq t \leqq 2$の範囲で動くとき，$xy$平面の直線
\[ y=(3t^2-4)x-2t^3 \]
が通る範囲を$H$とする．$H$の内，直線$x=1$と$\displaystyle x=\frac{20}{9}$ではさまれる部分の面積を求めよ．

$a>0$とし，$x$の$3$次関数$f(x)$を
\[ f(x) = x^3 -5ax^2 + 7a^2x \]
と定める．また，$t \geqq 0$に対し，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=t+1$で囲まれた部分の面積を$S(t)$で表す．

(1)$S(0)=[ト]$である．
(2)$f(x)$は$x=[ナ]$で極小値をとる．曲線$y=f(x)$上にあり，$x$の値$[ナ]$に対応する点を$\mathrm{P}$とする．$a$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は曲線$y=[ニ] \ (x>0)$である．
(3)$S(t)=S(0)$を満たす正の実数$t$が存在するような$a$の値の範囲を不等式で表すと$[ヌ]$となる．以下，$a$の値はこの範囲にあるとする．$c$を$S(c)=S(0)$を満たす最大の正の実数とする．区間$0 \leqq t \leqq c$における$S(t)$の最大値，最小値をそれぞれ$M(a)$，$m(a)$とするとき，$M(a)+m(a)=[ネ]$となる．

曲線上の点$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$におけるこの曲線の接線$\ell$と直交する直線$m$をこの曲線の法線とよぶ．$a,\ b>0$とし，$2$次曲線$x^2 = 4a(y+b)$の法線が$(0,\ 2a)$を通るとき，接点$\mathrm{P}(p,\ q)$は
\[ p^2 = [(41)]ab, \quad q= [(42)] \]
をみたす．したがって条件をみたす接線と法線の組$(\ell,\ m)$は$2$組ある．この$4$本の直線で囲まれる$4$角形$S$の面積は$[(43)][(44)](a+b)\sqrt{ab}$である．また$2$本の法線と$2$次曲線で囲まれる部分で$S$に含まれる部分の面積は
\[ \left( \frac{[(45)][(46)]a+[(47)][(48)]b}{[49]} \right) \sqrt{ab} \]
である．

直線$y=ax \cdots\cdots①$，放物線$y=-x(x-3) \cdots\cdots②$がある．こごで$a$はある定数で$0<a<3$とする．このとき，次の各問の$[　]$にあてはまる数を入れよ．

(1)直線$①$と放物線$②$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とすると，
\[ S_1 = \frac{[ア]}{[イ]} \left( [ウ]-a \right)^{[エ]} \]
である。
(2)放物線$②$と$x$軸で囲まれる部分の面積が直線$①$によって二つの部分に分割され，直線$①$と放物線$②$によって囲まれた部分の面積と，直線$①$，放物線$②$および$x$軸によって囲まれた部分の面積の比が$2:1$になるとき，
\[ a = [オ]-\sqrt[3]{[カ][キ]} \]
である．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{3}$のとき，直線$①$と放物線$②$で囲まれた部分の面積$S_1$が，直線$①$，放物線$②$および直線$x=b (b>3)$で囲まれた部分の面積$S_2$と等しいとき，$b$の値は$[ク]$である．

$a$を実数とする．$xy$平面上の$2$曲線

\qquad $C_1: y=e^x, \quad C_2: y=-e^{1-x}+a$
を考える．
$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t) (t>0)$における$C_1$の接線$\ell_t$が，$C_2$上の点$\mathrm{Q}(s,\ -e^{1-s}+a)$における$C_2$の接線にもなっているとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$t$と$s$の関係式を求めよ．また，$a$を$t$を用いて表せ．
(2)$C_1,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とし，$C_2,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．ただし，$\mathrm{Q}$が$y$軸上にあるときは$S_2(t)=0$とする．

(i) $S_1(t),\ S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(ii) $S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とする．$t$が$t>0$の範囲を動くとき，$t$の関数$S(t)$の最小値を求めよ．

座標平面上に$2$つの放物線$C_1:y=x^2$と$C_2:y=-x^2+4x+6$がある．$2$つの放物線$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標の値は$\mathrm{Q}$の$x$座標の値よりも小さいものとする．また，放物線$C_2$の頂点を$\mathrm{R}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．このとき，次の問(1)～(3)に答えよ．

(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OR}$と，$2$つの放物線$C_1$，$C_2$とで囲まれる部分のうち，点$\mathrm{P}$を含む部分の面積を$S$とする．$S$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{OR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{MQ}$と$C_1$とで囲まれる部分の面積を$T$とする．$T$を求めよ．