$a$を正の実数とする．$2$つの放物線
\[ y=\frac{1}{2}x^2-3a \]
\[ y= -\frac{1}{2}x^2 +2ax -a^3 -a^2 \]
が異なる$2$点で交わるとし，$2$つの放物線によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．以下の問に答えよ．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

$a$を実数の定数とする．放物線$y=x^2-ax+a$が$x$軸の
\[ 1 \leqq x \leqq 2 \quad \text{または} \quad 3 \leqq x \leqq 4 \]
を満たす部分と$2$つの異なる共有点を持つための$a$の条件を求めよ．

$xy$平面上に曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$がある．$C$上の点$\mathrm{P} \displaystyle (t,\ \frac{1}{2}t^2) (t \neq 1)$における接線を，$\mathrm{P}$を中心として反時計回りに$45^\circ$回転して得られる直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$S(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}$上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{A}$の$x$座標は$3$である．点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$における$C$の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とおくと，$\angle \mathrm{APB} = 45^\circ$であった．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$m$の傾きを求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)$C,\ \ell,\ m$で囲まれた図形において，不等式$x \geqq 0$を満たす部分の面積$S$を求めよ．

曲線$C : y = |x^2-2x|$と傾きが$m$の直線$\ell: y = mx$ついて，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=-x^2 +2x$と$\ell$が接する$m$の値を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が原点以外の相異なる2点で交わるような$m$の範囲を求めよ．また，そのときの2つの交点の座標を$m$を用いて表せ．
(3)$m$は(2)で求めた範囲にあるとする．$x \geqq 2,\ y \leqq mx,\ y \geqq |x^2-2x|$で定まる部分の面積$S$を$m$を用いて表せ．

$3$次関数$y = x^3-3x^2+2x$のグラフを$C$，直線$y = ax$を$\ell$とする．

(1)$C$と$\ell$が原点以外の共有点をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲内にあるとき，$C$と$\ell$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$が最小となる$a$の値を求めよ．

$xyz$空間に$4$点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ -1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-\sqrt{3},\ -1,\ 0)$をとる．四面体$\mathrm{PABC}$の$x^2 +y^2 \geqq 1$をみたす部分の体積を求めよ．

曲線$C:y=\log x \ (x>0)$を考える．自然数$n$に対して，曲線$C$上に点P$(e^n,\ n)$，Q$(e^{2n},\ 2n)$をとり，$x$軸上に点A$(e^n,\ 0)$，B$(e^{2n},\ 0)$をとる．四角形APQBを$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(n)$とする．また，線分PQと曲線$C$で囲まれる部分を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$S(n)$とする．

(1)$V(n)$を$n$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S(n)}{V(n)}$を求めよ．

横$2a$，縦$2b$の長方形を長方形の中心のまわりに角$\theta$だけ回転させる．回転後の長方形ともとの長方形とが重なり合う部分の面積$S(\theta)$を求めよ．ただし，長方形の中心とはその2つの対角線の交点とし，長方形はそれを含む平面内で回転するものとする．また，回転角$\theta$は0以上，長方形のいずれかの頂点が隣の頂点に達するまでの角度以下に取るものとする．

実数$c$に対して，行列
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -c \\
c & 1
\end{array} \biggr) \]
で表される1次変換を$T$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$T$は原点の回りの回転移動と原点中心の拡大(相似変換)との合成変換であることを示せ．
(2)$xy$平面上の同一直線上にない3点P，Q，Rが$T$によってそれぞれP$^\prime$，Q$^\prime$，R$^\prime$に移るとする．三角形P$^\prime$Q$^\prime$R$^\prime$の面積が三角形PQRの面積の2倍となる$c$の値を求めよ．
(3)$c=2$とする．楕円
\[ E:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \]
上の点が$T$によって楕円$E^\prime$上の点に移るとする．$E$が$E^\prime$の内部にあることを示し，$E^\prime$の内部にあり$E$の外部にある部分の面積を求めよ．