座標平面上に放物線$C:y=ax^2+1$がある．放物線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．ただし，$a>0$，$p>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a,\ p$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$，放物線$C$，および$y$軸で囲まれる部分の面積$S$を$a,\ p$を用いて表せ．
(3)直線$\ell$と原点との距離が$1$のとき，$S$を$a$を用いて表せ．

座標平面上に放物線$C:y=x^2+(2-a)x+3-a$がある．放物線$C$上の点$\mathrm{P}(-1,\ 2)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が$x$軸の正の部分と交わり，かつ$y$軸の正の部分と交わるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$の値が$(2)$で求めた範囲にあるとする．$x$軸，$y$軸，直線$\ell$で囲まれる三角形の面積を$S_1$とし，また，$y$軸，直線$\ell$，放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1=3S_2$となるとき，$a$の値を求めよ．

座標平面上に曲線$C:y=x^2 (x \geqq 0)$がある．この曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$における接線を$\ell$，点$\mathrm{P}$を通り直線$\ell$に垂直な直線を$m$とする．ただし，$t>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)曲線$C$，直線$\ell$，$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)直線$m$の方程式を$t$を用いて表せ．
(4)曲線$C$，直線$m$，$y$軸で囲まれた部分の面積を$T$とする．$T$を$t$を用いて表せ．
(5)$S:T=1:9$となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

関数$F(x)$を次のように定める．
\[ F(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
x^2 & (x \leqq 1) \\
-x^2+2x & (x>1) \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
実数$k$が$0<k<1$を満たすとき，次の問に答えよ．

(1)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$の交点のうち，原点とは異なるものをすべて求めよ．
(2)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$で囲まれた$2$つの部分のうち，直線$y=kx$の下側にある部分の面積$S_1$を$k$を用いて表せ．
(3)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$で囲まれた$2$つの部分のうち，直線$y=kx$の上側にある部分の面積$S_2$を$k$を用いて表せ．
(4)$(2)$で求めた$S_1$と$(3)$で求めた$S_2$の和$S=S_1+S_2$が最小となるときの$k$の値を求めよ．

媒介変数表示$\left\{ \begin{array}{l}
x=\theta-\sin \theta \\
y=\cos \theta
\end{array} \right. (0<\theta<2\pi)$で表される曲線$C$について，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$\theta$の関数で表せ．
(2)曲線$C$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1+4x}{1+\sqrt{x}} (x \geqq 0)$を考える．

(1)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[ア]}{[イ]}-\sqrt{[ウ]}$のとき最小値$[エ] \sqrt{[オ]}-[カ]$をとる．
(2)座標平面上の曲線$C:y=f(x) (x \geqq 0)$と$x$軸，$y$軸および直線$x=1$とで囲まれた部分の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[キク]}{[ケ]}-[コサ] \log 2 \]
である．ただし，対数は自然対数とする．

放物線$C:y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$がある．ただし，$a<b$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$が囲む部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle S=\frac{(b-a)^3}{6}$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$を固定する．放物線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$に対して，放物線$C$と線分$\mathrm{AP}$が囲む部分の面積を$S_1$，放物線$C$と線分$\mathrm{BP}$が囲む部分の面積を$S_2$とする．$a<t<b$のとき，$S_1+S_2$の最小値を求めよ．
(3)常に$\displaystyle S=\frac{9}{2}$であるように，$2$点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$が放物線$C$上を動く．このとき，線分$\mathrm{AB}$の中点の軌跡の方程式を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}x^2-x+\log (x+1) (x>-1)$について，次の問いに答えよ．ただし，不等式$2<e<3$が成り立つことは使ってよい．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，凹凸，変曲点は調べなくてよい．
(2)$a \neq 0$かつ$f(a)=0$となる$a$はただ$1$つあって，$1<a<2$を満たすことを示せ．
(3)区間$[0,\ a]$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，区間$[a,\ 4]$において曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=4$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1<S_2$を示せ．

放物線$C_1:y=2x^2$と放物線$C_2:y=(x-a)^2+b$を考える．ただし，$a,\ b$は定数で，$a>0$とする．放物線$C_1$と$C_2$がともにある点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$において共通の接線$\ell$をもつとする．また，点$\mathrm{P}$で$\ell$と直交する直線を$m$とし，$m$と放物線$C_1$，$C_2$との$\mathrm{P}$以外の交点を，それぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)直線$m$の方程式，および，点$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{R}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のとき，放物線$C_1$と直線$m$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$a$を$a>2$を満たす実数とし，
\[ f(t)=\frac{\sin^2 at+t^2}{at \sin at},\quad g(t)=\frac{\sin^2 at-t^2}{at \sin at} \quad \left( 0<|t|<\frac{\pi}{2a} \right) \]
とする．また，$C$を曲線$\displaystyle x^2-y^2=\frac{4}{a^2} \left( x \geqq \frac{2}{a} \right)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$(f(t),\ g(t))$は，曲線$C$上の点であることを示せ．
(2)点$\displaystyle \left( \lim_{t \to 0}f(t),\ \lim_{t \to 0}g(t) \right)$における曲線$C$の法線の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた法線および$x$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(a)$とする．$V(a)$を$a$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ．