$xy$平面において，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} (x>0)$を$C_1$とする．

(1)点$(x,\ y)$が曲線$C_1$上を動くとき，$x^2+2y$の最小値$k$を求めよ．
(2)$(1)$の$k$の値に対して，曲線$x^2+2y=k$を$C_2$とする．曲線$C_2$と$x$軸の正の部分との交点を$(a,\ 0)$とする．このとき，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$xy$平面において，曲線$y=-x^2-2x+6$を$C_1$，曲線$y=3 |x|$を$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

放物線$y=ax^2+bx+c$と放物線$y=x^2-8x$が$x$軸上の異なる$2$点で交わるとする．このとき，次の問題に答えよ．

(1)定数$c$の値を求めよ．
(2)定数$a$を用いて定数$b$を表せ．
(3)$2$つの放物線に囲まれる部分の面積が$64$になるときの$a$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=x^3+3ax^2+3(10-3a)x$が極値をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)曲線$y=e^x-2$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\cos x) \log (\sin x) \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．

$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に，放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2$がある．点$\mathrm{A}(2,\ 8)$を通る直線$\ell:y=t(x-2)+8$（ただし，$t$は定数）と$C$との$2$つの交点を結ぶ線分の中点を$\mathrm{M}(X,\ Y)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$C$と$\ell$との$2$つの交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とすると，$\alpha+\beta=[ア] t$である．$X,\ Y$を$t$を用いて表すと，$X=[イ] t$，$Y=[ウ] t^2-[エ] t+[オ]$である．
(2)$\mathrm{M}$が直線$\mathrm{OA}$上の点であるような$t$の値は小さい方から順に$[カ]$，$[キ]$である．
(3)$t$が$[カ]$から$[キ]$まで変化するときの$\mathrm{M}$の軌跡は，放物線
\[ D:y=\frac{[ク]}{[ケ]}x^2-x+[コ] \]
の$[サ] \leqq x \leqq [シ]$の部分である．
(4)$[カ] \leqq t \leqq [キ]$において，直線$\mathrm{OM}$が$D$に接するとき，$X=[ス]$である．また，$t$が$[カ]$から$[キ]$まで変化するとき，線分$\mathrm{OM}$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$である．

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の命題$(ⅰ)$～$\tokeijyu$の真偽を書きなさい．

(i) 自然数ならば偶数である．
(ii) 食べ物ならば果物である．
(iii) 人間でないならば動物ではない．
\mon[$\tokeishi$] 整数ならば実数である．
\mon[$\tokeigo$] $|2x^2-5x-3|>0$ならば$x \neq 3$である．
\mon[$\tokeiroku$] $x^2=9$ならば$x=3$である．
\mon[$\tokeishichi$] $2$の倍数ならば$4$の倍数である．
\mon[$\tokeihachi$] $x+y>0$ならば$x>0$かつ$y>0$である．
\mon[$\tokeikyu$] $A \cap B=\phi$ならば$A \neq B$である．
\mon[$\tokeijyu$] $A=\{2x \;|\; 1 \leqq x \leqq 10,\ x \text{は自然数} \}$，$B=\{2y+2 \;|\; 1 \leqq y \leqq 10,\ y \text{は自然数} \}$ならば$A \subset B$である．

(2)以下の図において$A \cup B$の部分を塗りつぶしなさい．
（図は省略）
(3)$2x^2-x-1=0$の必要条件を次の$(ⅰ)$～$\tokeishi$からすべて選び，解答欄に記号で答えなさい．

(i) $x<0$
(ii) $x$は素数である．
(iii) $|x| \leqq 1$
\mon[$\tokeishi$] $x$は実数である．

(4)命題「$(x-1)^2=0$ならば$x=-1$または$x=1$」の逆，裏，対偶を解答欄に書きなさい．またこの命題の真偽を書き，偽のときは反例を挙げなさい．

次の各問いに答えよ．

(1)$x \geqq 1,\ k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$として
\[ I_k(x)=\int \frac{(\log x)^k}{x^2} \, dx \]
とおくとき，$I_0(x)$を求め，$I_{k+1}(x)$を$I_k(x)$を用いて表せ．また$I_4(x)$を求めよ．

(2)$x>0$で不等式$\displaystyle \log x \leqq \frac{3}{e}x^{\frac{1}{3}}$が成り立つことを証明せよ．

(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$に関する以下の各問いに答えよ．

(i) $y=f(x) (x \geqq 1)$の極値，極限$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$を調べ，増減表を作り，グラフの概形を描け．
(ii) $n>1$として，$y=f(x)$と$2$直線$x=n$，$x=n^2$および$x$軸で囲まれる部分$D_n$の面積$S_n$を求めよ．
(iii) $D_n$を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積$V_n$を求めよ．

\mon[$\tokeishi$] 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{nV_n}{(\log n)S_n}$の値を求めよ．

次の文中の$[ア]$～$[ホ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

放物線$y=-x^2+1$を$C_1$，また$y=(x-t)^2+kt+1$を$C_2$とする．ここで$k>0$とし，$t$は任意の実数値をとるものとする．$t$の値が変化するに従い，$C_2$の頂点の軌跡はある直線になる．この直線を$L$とする．

(1)$k=1$の場合を考える．このとき，直線$L$の方程式は，$y=[ア]x+[イ]$である．また$C_1$および$L$によって囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$\displaystyle k=\frac{1}{2}$の場合を考える．$C_1$と$C_2$がただ$1$つの点で接する場合，接点の座標は
\[ (x,\ y)=([オ],\ [カ]) \]
および
\[ (x,\ y)=\left( \frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である．
$C_1$と$C_2$が$2$つの共有点をもつのは，$[サ]<t<[シ]$のときである．このとき，それらの$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすれば，
\[ \alpha+\beta=[ス]t+[セ],\quad \alpha\beta=\frac{[ソ]}{[タ]}t^2+\frac{[チ]}{[ツ]}t+[テ] \]
である．また，$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積$S(t)$は，
\[ S(t)=\frac{1}{[ト]} ([ナ]t^2+[ニ]t+[ヌ])^p,\quad \text{ただし} p=\frac{[ネ]}{[ノ]} \]
である．この面積は$\displaystyle t=\frac{[ハ]}{[ヒ]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ][ホ]}$をとる．

$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$である長方形の紙$\mathrm{ABCD}$が平らな机上に置かれている．$\mathrm{M}$を$\mathrm{AB}$の中点とすると，$\angle \mathrm{MCB}={[あい]}^\circ$である．いま，ある直線$\ell$に沿ってこの紙を折り曲げて，頂点$\mathrm{C}$が$\mathrm{M}$に重なるようにする．$\ell$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{CE}$の長さは$\displaystyle \frac{[う] \sqrt{[え]}}{[お]}$である．次に，折り畳まれた紙を開き，折り曲げられた部分が机上に垂直になったところで止める（頂点$\mathrm{C}$は空中にある）．このとき，$\mathrm{AC}=[か]$，$\mathrm{BC}=\sqrt{[き]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[く]$となる．

放物線$y={(x-1)}^2$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ {(a-1)}^2)$，$\mathrm{B}(b,\ {(b-1)}^2)$における$2$つの接線を，それぞれ，$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$a<b$とする．また，点$\mathrm{A}$を通り$\ell_1$と直交する直線を${\ell_1}^\prime$，点$\mathrm{B}$を通り$\ell_2$と直交する直線を${\ell_2}^\prime$とする．次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点の座標を$a,\ b$を使って表すと，$([　],\ [　])$である．
(2)この放物線と$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた部分の面積$S$を$a,\ b$を使って表すと，$[　]$である．
(3)${\ell_1}^\prime$と${\ell_2}^\prime$が直交するとき，$(2)$で求めた$S$の最小値は$[　]$である．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$となり，$\ell_1$，${\ell_1}^\prime$，$\ell_2$，${\ell_2}^\prime$の$4$つの直線で囲まれた部分の面積は$[　]$となる．