放物線$C:y=x^2-4x$と，$C$上の点$(3,\ -3)$における接線を$y$軸方向に$a$だけ平行移動した直線$\ell$を考える．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a=1$のとき，同一の座標平面に$C$と$\ell$を図示せよ．
(3)$x>0$において，$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．
(4)$(3)$のとき，$C$の下側で$y$軸と$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)関数$y=x(1-x^2)e^{x^2}$の極小値を求めよ．
(2)$(1)$の関数のグラフと$x$軸とで囲まれる部分の面積の総和を求めよ．

$xy$平面上に，円$K:x^2+y^2=1$と放物線$C:y=x^2-2$がある．$K$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta) (\pi<\theta<2\pi)$における$K$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$C$で囲まれる部分の面積を$S$とする．

(1)$\ell$の方程式を$\theta$を用いて表せ．
(2)$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$S$の最小値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$b<a^2$を満たす点$\mathrm{P}(a,\ b)$から放物線$C:y=x^2$へ$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$を引き，その接点をそれぞれ$(\alpha,\ \alpha^2)$，$(\beta,\ \beta^2)$とする．ただし$\alpha<\beta$にとる．放物線$C$と$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$a$と$b$を$\alpha$と$\beta$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$S$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が直線$y=x-2$上を動くときの$S$の最小値と，それを与える$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$のとき，$x^2+y^2=[ア]$，$x^3+y^3=[イ]$である．
(2)放物線$y=x^2-2x+3$を$x$軸方向に$[ウ]$，$y$軸方向に$[エ]$だけ平行移動すると，放物線$y=x^2+4x+3$が得られる．
(3)$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0)$を端点とする線分$\mathrm{OA}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:1$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は直線であり，その方程式は$[オ]$である．また，$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:2$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は円であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C_1:y=x^2+2x$と放物線$C_2:y=-2x^2-10x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$，$C_2$および直線$\ell:x=-5$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．

$a>0$とする．曲線$C:y=a \sqrt{x}-\log x (x>0)$が$x$軸に接するとするとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$x=1$および$x$軸によって囲まれる部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=x(\log x)^2 (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)この関数の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，増減表を書け．
(2)曲線$y=f(x)$と変曲点における接線，および直線$x=1$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

関数$f(x)$を$f(x)=-x^3-3x^2+a$とし，$y=f(x)$で表されるグラフを$C$とする．$C$が極小となる点で$x$軸と接するとき，以下の問に答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求め，$f(x)$の極小値と極大値および$a$の値を求めよ．
(2)$C$と$x$軸の共有点のうち，$C$が極小とならない座標を求め，その点における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$y=3x^2-3$で表されるグラフを$D$とし，$D$と(2)で求めた$\ell$で囲まれる部分を$E$とする．$E$を$y$軸で$2$分割し，$x \geqq 0$の部分の面積と$x \leqq 0$の部分の面積を求めよ．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．

$a$を正の実数とし，$xy$平面上に放物線$C:y=ax^2$とその上の点$\mathrm{P}(p,\ ap^2)$とが与えられている．ただし，$p>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする．
(1)放物線$C$と$x$軸および直線$x=p$で囲まれた部分の面積を$S_1(p)$とすると，$S_1(p)=[ア]$である．
(2)放物線$C$の$\mathrm{P}$における接線$\ell_1$の方程式は$y=[イ]$である．
(3)$\mathrm{P}$を通り$\ell_1$に垂直な直線$\ell_2$の方程式は$y=[ウ]$であり，$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[エ]$である．
(4)点$\mathrm{R}(0,\ 1)$とする．$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$を$2$辺とする長方形の面積を$S_2(p)$とし，$f(p)=S_1(p)-S_2(p) (p>0)$とおく．関数$f(p)$が極値をもつような$a$の値の範囲は$[オ]$である．
(5)$\displaystyle a=\frac{1}{10}$のとき，$f(p)$の極値を求めて，さらに$f(p)$のグラフを描け．

$\displaystyle y=-x^2+3x+\frac{3}{4}$で表されるグラフを$C_1$とし，$y=|x-1|+|x-2|$で表されるグラフを$C_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の概形を同じ座標平面上に描け．
(2)不等式$\displaystyle -x^2+3x+\frac{3}{4}>|x-1|+|x-2|$を解け．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．