座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限の部分を$C$とする．曲線$y=f(x) \ (0<x<1)$は第$4$象限にあり，かつすべての$x_1 \ (0<x_1<1)$について，点$(x_1,\ f(x_1))$における接線が$C$上の点$(x_1,\ y_1)$における$C$の接線と直交しているとする．曲線$y=f(x)$上の動点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは常に$1$であることを示せ．
(3)$x$軸上と$y$軸上に$2$辺をもち，線分$\mathrm{OP}$を対角線とする長方形の面積を$S$とする．点$\mathrm{P}$が$S$を最大にする位置にあるとき，$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}$における曲線の接線と座標軸が交わってできる$2$点の中点であることを示せ．
(4)$f(x)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)=0$であるとする．

$t$を$0 \leqq t<2$をみたす定数とする．放物線$y=(x-2)^2$上の点$(t,\ (t-2)^2)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と$x$軸の交点を求めよ．
(3)直線$\ell$と$x$軸，$y$軸によって囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$0 \leqq t<2$において$S(t)$が最大となるときの$t$の値と$S(t)$の値を求めよ．

$R,\ r$を正の実数とし，$2r<R \leqq 3r$とする．右図のように，原点 \\
$\mathrm{O}$を中心とする半径$R$の固定された円$S$の内部に点$\mathrm{O}^\prime$を中心と \\
する半径$r$の円$T$があり，円$T$は円$S$に接しながらすべらずに \\
転がるものとする．ただし，点$\mathrm{O}^\prime$は点$\mathrm{O}$のまわりを反時計まわり \\
に動くものとする．はじめに点$\mathrm{O}^\prime$は$(R-r,\ 0)$の位置にあり， \\
円$T$上の点$\mathrm{P}$は$(R,\ 0)$の位置にあるとする．$x$軸の正の部分と \\
動径$\mathrm{OO}^\prime$のなす角が$\theta$ラジアンのとき，点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．このとき，次の問に答えよ．
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(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2r}{R} \cdot \frac{3}{2}\pi$において，$x(\theta)$が最小となるときの$\theta$の値を求めよ．
(3)$R=3,\ r=1$とする．$\theta>0$で点$\mathrm{P}$がはじめて$x$軸に到達したときの角$\theta_0$を求めよ．また，$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$のとき，$y(\theta) \geqq 0$を示せ．
(4)$R=3,\ r=1$とする．$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$における点$\mathrm{P}$の軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$とする．ただし，対数は自然対数とする．

(i) $f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(ii) 直線$y=x$と直線$\displaystyle x=\frac{3}{4}$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(2)$\displaystyle \alpha=\frac{2}{5}\pi$とする．

(i) $\cos 3\alpha=\cos 2\alpha$が成り立つことを用いて，$\cos \alpha$と$\cos 2\alpha$の値を求めよ．
(ii) $2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和を$N$とする．このとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3})$を原点$\mathrm{O}$のまわりに角$N \alpha$だけ回転した点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積を$T$とする．$T$の期待値を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$i$を虚数単位とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$1-\sqrt{2}i$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフの軸と頂点を求め，そのグラフをかけ．
(3)曲線$y=x^2+ax+b$と直線$y=3$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

$y^2=(x-2)^2(x+1)$で決まる曲線を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=(x-2) \sqrt{x+1}$の増減を調べ，関数のグラフの概形をかけ．
(2)曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$f(x)=\log 2x$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．曲線$C$と$x$軸との交点における曲線$C$の接線$\ell$の方程式を$y=g(x)$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)$h(x)=g(x)-f(x) \ (x>0)$とおくと，$h(x) \geqq 0 \ (x>0)$であることを示しなさい．また，$h(x)=0$となる$x$の値を求めなさい．
(3)曲線$C$と直線$\ell$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}e$で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)直径$1$の球を球の中心から距離$a$の平面で切って二つの部分に分け \\
たとき，中心を含まない部分の体積を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$ \\
とする．
(2)$1$辺の長さが$1$である立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える．この立方体に \\
内接する球と正四面体$\mathrm{ACFH}$との共通部分の体積を求めよ．
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$xy$平面において，曲線$y=e^x$と$3$直線$y=x+1,\ x=1,\ x=-1$で囲まれた部分を$D$とする．ただし$e$は自然対数の底である．次の各問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=e^x-(x+1)$の増減，極値，凹凸を$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で調べ，増減表にまとめよ．
(2)$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

$xy$平面上に$2$つの曲線
\[ \begin{array}{llll}
C_1: & y=\tan x+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} & & \displaystyle\left( -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \right) \\
C_2: & \displaystyle y=\sqrt{3}k \left( \cos 2x-\frac{1}{2} \right) & & \displaystyle\left( -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \right)
\end{array} \]
がある．ただし$k$は実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$t=\tan x$とおく．$\cos 2x$を$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle k=-\frac{4}{3}$のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点の個数が$1$になるときの$k$の範囲を求めよ．