$2$曲線$C_1:x^2+y^2=1$と$\displaystyle C_2:y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)(x-\beta)$を考える．ただし，$\beta>3$とする．また，$C_1$上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$を通る$C_1$の接線$\ell$が$C_2$にも接しているとする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$C_2$の接点の座標および$\beta$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分を$S_1$とし，$C_2$と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分を$S_2$とする．このとき，$S_1$と$S_2$の面積をそれぞれ求めよ．

曲線$\displaystyle y=e^x+\frac{6}{e^x+1}$と直線$y=4$で囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

$x \geqq 2$とし，区間$-1 \leqq t \leqq 1$における$f(t)=4t^3-x^2t$の最大値を$M(x)$で表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$y=M(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=M(x)$と$y$軸および$2$直線$\displaystyle y=\frac{8 \sqrt{3}}{9},\ y=10$で囲まれた部分の面積を求めよ．

実数$a>0$と$k>0$に対して$2$つの曲線
\[ C_1:y=ax^2,\quad C_2:y=k \log x \quad (x>0) \]
を考える．ここで，$\log x$は$x$の自然対数とする．$C_1$と$C_2$がただ$1$点を共有し，その点における接線が一致するとき，次の問いに答えよ．

(1)共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$k$を$a$を用いて表せ．
(3)$k=2e$のとき，$C_1$，$C_2$および$x$軸で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(4)(3)の$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3-6x+3$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作り，$y$が極大，極小となるグラフ上の点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，それらの点の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{C}$の座標を求め，$\mathrm{C}$が$y=f(x)$のグラフの上にあることを示せ．
(3)$y=f(x)$のグラフは，$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$に関して点対称であることを示せ．
(4)$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$を通り傾きが$2$の直線と$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を正の実数とし，$f(x)=e^{-x}\sin ax$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とする．曲線$\displaystyle y=f(x) \ \left( \frac{2(n-1)\pi}{a} \leqq x \leqq \frac{2n \pi}{a} \right)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$A_n$で表すとき，$A_n$を$a$と$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S=\sum_{n=1}^\infty A_n$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}S$を求めよ．

双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}+\frac{4}{3}$を$C_1$，曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{3}x^3+a$を$C_2$，$C_2$と$x$軸の交点を通る$y$軸と平行な直線を$L$とする．ただし$a$は実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$が第一象限で接するとき，$a$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$a$に対して，$C_1$と$C_2$と$L$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a,\ b$を定数とし，$a \neq 0$とする．関数$f(x)=ax^2-4x+b$は，条件
\[ x^2f^{\prime\prime}(x)-xf^\prime(x)+f(x)=x^2+8 \]
を満たすとする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)直線$\ell$が，放物線$y=x^2$の接線であり，かつ放物線$y=f(x)$の接線でもあるとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$2$つの放物線$y=x^2$と$y=f(x)$，および$(2)$で求めた接線$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$2$つの曲線
\[ y=\cos^2 x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \quad \text{と} \quad y=\sin^2 x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
を，それぞれ$C_1$と$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の$2$つの交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．
(3)$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$\displaystyle 0<a<\frac{1}{3},\ b>0$とする．放物線$y=x^2-2a^2x$の$x \geqq 0$の部分を曲線$C$とする．直線$\ell:y=b$と$C$とが$0<x<a$の範囲で交わっている．さらに，$C$と$\ell$と$y$軸で囲まれる部分の面積と，$C$と$\ell$と直線$x=a$で囲まれる部分の面積が等しい．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$b$を最大にする$a$の値と，そのときの$b$の値を求めよ．