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公立 秋田県立大学 2014年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x^2+4}$について，以下の設問に答えよ．
(1)不等式$\displaystyle f(x)>-\frac{1}{2}$を解け．
(2)関数$f(x)$の導関数を求めよ．
(3)関数$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(4)$a>0$とする．$x \geqq 0$において，曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a) \geqq 2$となる$a$の値の範囲を求めよ．
(1)不等式$\displaystyle f(x)>-\frac{1}{2}$を解け．
(2)関数$f(x)$の導関数を求めよ．
(3)関数$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(4)$a>0$とする．$x \geqq 0$において，曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a) \geqq 2$となる$a$の値の範囲を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2014年 第14問$2$つの放物線$y=2x^2+ax+a^2$，$y=x^2+3ax+9$で囲まれた部分の面積を求めよ．
公立 京都府立大学 2014年 第3問区間$-1 \leqq x \leqq 1$で定義された連続関数$f(x)$を
\[ 12xf(x)+12 \int_0^x f(t) \, dt=15x^3 |x|-16x^3,\quad f(0)=0 \]
によって定める．曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．
(3)曲線$C$と直線$\ell:y=a$との区間$-1 \leqq x \leqq 1$における共有点の個数を，$a$の値によって分類せよ．
(4)曲線$C$と$3$直線$y=-1$，$x=-1$，$x=1$で囲まれる部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
\[ 12xf(x)+12 \int_0^x f(t) \, dt=15x^3 |x|-16x^3,\quad f(0)=0 \]
によって定める．曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．
(3)曲線$C$と直線$\ell:y=a$との区間$-1 \leqq x \leqq 1$における共有点の個数を，$a$の値によって分類せよ．
(4)曲線$C$と$3$直線$y=-1$，$x=-1$，$x=1$で囲まれる部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
公立 京都府立大学 2014年 第2問定数$a$を正の実数とする．$2$つの放物線$C_1:y=2x^2+1$，$C_2:y=-\sqrt{2}(x+a)^2+1$がある．$C_1$，$C_2$の両方に接する直線を$C_1$，$C_2$の共通接線という．以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$上の任意の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)$C_1$，$C_2$の共通接線がちょうど$2$本存在することを示せ．
(3)$C_1$，$C_2$の$2$本の共通接線と$C_1$とで囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．
(1)$C_1$上の任意の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)$C_1$，$C_2$の共通接線がちょうど$2$本存在することを示せ．
(3)$C_1$，$C_2$の$2$本の共通接線と$C_1$とで囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．
公立 高崎経済大学 2014年 第3問放物線$y=2x^2+px+q$上の点$(1,\ -1)$における接線が原点を通るとき，以下の各問に答えよ．
(1)定数$p,\ q$の値を求めよ．
(2)原点からこの放物線に引いた接線の方程式をすべて求めよ．
(3)この放物線と$(2)$の接線で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)定数$p,\ q$の値を求めよ．
(2)原点からこの放物線に引いた接線の方程式をすべて求めよ．
(3)この放物線と$(2)$の接線で囲まれる部分の面積を求めよ．
公立 三重県立看護大学 2014年 第3問放物線$C:y=x^2$，直線$\ell_1:y=-x+2$とする．このとき，次の$(1)$と$(2)$の設問に答えなさい．$(2)$では図も示しなさい．
(1)放物線$C$と直線$\ell_1$の交点における接線の方程式を求めなさい．
(2)放物線$C$と$(1)$で求めた接線とで囲まれた部分の面積を求めなさい．
(1)放物線$C$と直線$\ell_1$の交点における接線の方程式を求めなさい．
(2)放物線$C$と$(1)$で求めた接線とで囲まれた部分の面積を求めなさい．
公立 三重県立看護大学 2014年 第4問曲線$①$は点$(-2,\ 0)$，曲線$②$は点$(0,\ -2)$を通り，両者は原点および$(-1,\ -1)$で交わる．このとき，次の$(1)$および$(2)$の設問に答えなさい．
$y=ax^2+bx+c \cdots\cdots①$
$x=dy^2+ey+f \cdots\cdots②$
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$にあてはまる係数を求めなさい．
(2)曲線$①$および$②$を図示し，両曲線によって囲まれた部分の面積を求めなさい．
$y=ax^2+bx+c \cdots\cdots①$
$x=dy^2+ey+f \cdots\cdots②$
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$にあてはまる係数を求めなさい．
(2)曲線$①$および$②$を図示し，両曲線によって囲まれた部分の面積を求めなさい．
国立 埼玉大学 2013年 第2問曲線$C:y=(x^2-x-1)^2-1$と直線$\ell_a:y=a \ (a \text{は実数})$を考える．
(1)曲線$C$と直線$\ell_a$の共有点の個数を求めよ．
(2)曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積の和を求めよ．
(1)曲線$C$と直線$\ell_a$の共有点の個数を求めよ．
(2)曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積の和を求めよ．
国立 京都大学 2013年 第5問$xy$平面内で，$y$軸上の点$\mathrm{P}$を中心とする円$C$が$2$つの曲線
\[ C_1:y=\sqrt{3}\log (1+x),\quad C_2:y=\sqrt{3}\log (1-x) \]
とそれぞれ点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$で接しているとする．さらに$\triangle \mathrm{PAB}$は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$y$軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする．このとき$3$つの曲線$C$，$C_1$，$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
\[ C_1:y=\sqrt{3}\log (1+x),\quad C_2:y=\sqrt{3}\log (1-x) \]
とそれぞれ点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$で接しているとする．さらに$\triangle \mathrm{PAB}$は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$y$軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする．このとき$3$つの曲線$C$，$C_1$，$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 京都大学 2013年 第4問$\alpha,\ \beta$を実数とする．$xy$平面内で，点$(0,\ 3)$を中心とする円$C$と放物線
\[ y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta \]
が点$\mathrm{P}(\sqrt{3},\ 0)$を共有し，さらに$\mathrm{P}$における接線が一致している．このとき以下の問に答えよ．
(1)$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(2)円$C$，放物線$\displaystyle y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
\[ y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta \]
が点$\mathrm{P}(\sqrt{3},\ 0)$を共有し，さらに$\mathrm{P}$における接線が一致している．このとき以下の問に答えよ．
(1)$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(2)円$C$，放物線$\displaystyle y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．