$f(x)=x(x-2)-6 |x|$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$の最小値を求めなさい．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(t,\ f(t)) (t>0)$を通る接線が曲線$y=f(x)$の$x<0$の部分と点$\mathrm{B}$で接しているとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標と接線の方程式を求めなさい．
(3)$(2)$において曲線$y=f(x)$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積を求めなさい．

$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+1} t \cdot |t| \, dt$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(0)$と$f(-1)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)座標平面において曲線$y=f(x)$と直線$y=f(-1)$で囲まれる部分のうち，$-2 \leqq x \leqq -1$の範囲の面積を$S_1$，$-1 \leqq x \leqq 0$の範囲の面積を$S_2$，$0 \leqq x \leqq 1$の範囲の面積を$S_3$とする．$S_1$，$S_2$，$S_3$を求めよ．

$a$は正の定数とし，曲線$C_1:y=ax^2 (0 \leqq x \leqq 1)$と$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{a}(x-1)^2 (0 \leqq x \leqq 1)$および$x$軸で囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$S(a)$を求めよ．
(3)$a$がすべての正の実数を動くとき，$S(a)$の最大値とそれを与える$a$の値を求めよ．

座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ 5,\ 7)$，$\mathrm{C}(4,\ 4,\ 5)$がある．また，$s,\ t$は実数であるとして，点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 4)$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上にあるための$s,\ t$の関係式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上にあるときの$s,\ t$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上を動くとき，その軌跡により三角形$\mathrm{ABC}$は二つの部分に分けられる．この二つの部分の面積の比の値$r$を求めよ．ただし，$r \geqq 1$とする．

曲線$y=x^2 (x>0)$を$C_1$とする．この$C_1$と$x$軸の両方に接し，半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)$C_2$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の外部において，$C_1$と$C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

次式で与えられる$2$つの放物線$C_1,\ C_2$について，以下の問いに答えよ．
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=ax^2+1 \]
ただし，$a$は$0$でない定数とする．

(1)$C_1$と$C_2$が$2$個の共有点をもつように，定数$a$のとりうる値の範囲を求めよ．さらに，そのときの共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$a$の値が$(1)$で求めた範囲にあるとき，第$1$象限における$C_1$と$C_2$の共有点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．また，$\ell_1$と$\ell_2$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．

$f(x)=|x^2-3x+2|$とする．曲線$y=f(x)$を$C$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{A}(a,\ f(a))$における接線を$\ell$とする．ただし，$1<a<2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$の共有点のうち，接点$\mathrm{A}$とは異なる$2$つの点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$で表せ．
(3)曲線$C$と接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$のとりうる値の範囲を求めよ．

$f(x)=\log x$，$g(x)=(\log x)^2$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$と関数$y=g(x)$のグラフを$1$つの座標平面上にかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$t$は$0<t<1$を満たす実数とし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で$3$つの曲線$C_1:y=\sin x$，$C_2:y=\cos x$，$C_3:y=t \cos x$を考える．

(1)$y$軸と$C_1$，$C_3$で囲まれる部分の面積$S_1$を$t$で表せ．
(2)$C_1$，$C_2$，$C_3$で囲まれる部分の面積を$S_2$とおく．$S_1=S_2$となる$t$とそのときの$S_1$の値を求めよ．

関数$f(x)=4 \sin x+(\pi-2x) \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$，$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$は$0 \leqq x \leqq \pi$で減少することを示せ．
(3)$f(x)$の増減および曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．
(4)曲線$y=f(x)$，$x$軸，$y$軸および直線$x=\pi$で囲まれた部分の面積を求めよ．