$k$を正の定数として，放物線$C:y=x^2$と直線$\ell_n:y=a_nx+ka_n-{a_n}^2$を考える．$C$と$\ell_n$の共有点の個数を$a_{n+1}$として数列$\{a_n\}$を定める．ただし，以下では常に$a_1=0$とする．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$k=1$のとき，$a_2=[と]$，$a_3=[な]$である．
(2)$k=1$のとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{100} a_n=[にぬ]$である．また，$C$と$\ell_n$の共有点の個数が$2$であるとき，両者で囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[ね]}{[の]}$である．
(3)数列$\{a_n\}$のとる値に$2$が一度も現れないとき，$\displaystyle k \leqq \frac{[は]}{[ひ]}$である．
(4)数列$\{a_n\}$のある番号$N$から先の項（$N$も含める）がすべて$2$になるとき，そのようなことが可能になる$N$の最小値は$[ふ]$であり，そのとき$\displaystyle k>\frac{[へ]}{[ほ]}$である．

関数$f(x)$は$x>0$において$f(x)>0$であり，$x$軸，$y$軸，$y=f(x)$，および$x=a (a>0)$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とすると，$\displaystyle S(a)=\frac{1}{4}a^2+a$である．また，関数$g(x)$は$x>0$において$g(x)<0$であり，$x$軸，$y$軸，$y=g(x)$，および$x=a (a>0)$で囲まれた部分の面積を$T(a)$とすると，$\displaystyle T(a)=\frac{1}{3}a^3-a^2+2a$である．

(1)$y=f(x)$，$y=g(x)$，$x=1$，$x=2$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[ノ][ハ]}{[ヒ][フ]}$である．
(2)$f(1)-g(1)$の値は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．
(3)$x>0$において，$f(x)-g(x)$の最小値は$\displaystyle \frac{[マ][ミ]}{[ム][メ]}$である．

$[ア]$～$[タ]$を埋めよ．

(1)$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$のとき$\sin 5x+\sin 3x$の値は
\[ \sin 5x+\sin 3x=[ア] \sin [イ]x \cos x \]
を用いれば
\[ [ウエ] \sqrt{[オ]}-[カキ] \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$m \neq n$かつ$m$と$n$の最大公約数は$1$である．このとき$\displaystyle t=\frac{m}{m+n}$とおくと
\[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+([ク]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．いま，$2$直線$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$として，点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{PR}$の中点であるならば
\[ \overrightarrow{\mathrm{AR}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ケ] ([コ]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
となるから
\[ m:n=[サ]:[シ] \]
である．
(3)数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使って$5$桁の整数を作る．その中で，数字の並べ方を逆にしたものをもとの整数に加えると，どの桁の数字も偶数になるものは
\[ [スセ] \]
個ある．
(4)曲線$y=x^2-x$と$x$軸の囲む部分の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．

$3$次関数$f(x)=-x^3+ax^2$に対し，曲線$y=f(x)$と直線$y=2x-2$が接しているとする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減表をかき極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)曲線$y=f(x)$の$x \geqq 0$の部分と，$x$軸および直線$x=1$によって囲まれる図形の面積を求めよ．

次の問について，答えを$[　]$に記入せよ．

(1)$x=3+\sqrt{5}$，$y=3-\sqrt{5}$のとき，$4x^2+3xy+4y^2=[ア]$，$\displaystyle \frac{y}{x}+\frac{x}{y}=[イ]$である．
(2)関数$f(x)=-x^2+8x+c (2 \leqq x \leqq 5)$の最小値が$1$のとき，$c=[ウ]$である．また，そのときの$f(x)$の最大値は$[エ]$である．
(3)放物線$C_1:y=(x-p)^2+q$が放物線$C_2:y=-x^2$に接するとき，$p,\ q$の満たす条件は$[オ]$である．これより，$p$がすべての実数値をとって変わるとき，$C_1$の頂点が描く軌跡は放物線であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2+x$と直線$\ell_1:y=-x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C$と$\ell_1$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C$，$\ell_1$および直線$\ell_2:x=-4$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．

$xyz$空間において，$xy$平面に原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$で接し，中心が$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$であるような球面を$S$とする．点$\mathrm{P}(2 \sqrt{3},\ 0,\ 3)$に点光源をおくとき，$xy$平面上にできる$S$の影$S^\prime$を考える．

(1)点$\mathrm{P}$から球面$S$に引いた接線の一つと球面との接点を$\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{PA}$の長さは$\sqrt{[キ]}$である．$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とすると，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(2)球面$S$上で光が当たる部分と影の部分との境界は，$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]},\ [シ],\ \frac{[ス]}{[セ]} \right)$を中心とし，半径が$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$の円である．
(3)影$S^\prime$は長軸の長さが$[チ] \sqrt{[ツ]}$の楕円の内部である．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を
\[ a_n=\int_{n-\frac{1}{4}}^{n+\frac{1}{4}} e^{-4x} \cos (2\pi x) \, dx,\quad b_n=\int_{n-\frac{1}{4}}^{n+\frac{1}{4}} e^{-4x} \sin (2\pi x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

(1)$a_n$を定める定積分に対して部分積分を行うことにより，
\[ a_n=-\frac{\pi}{[ア]}b_n \]
がわかる．
一方，$b_n$を定める定積分に対して部分積分を行うことにより，
\[ b_n=\frac{\pi}{[イ]}a_n-\frac{e^{\mkakko{ウ}}+[エ]}{[オ]e^{\mkakko{カ}n+\mkakko{キ}}} \]
がわかる．
これらの関係式より，$a_n$は
\[ a_n=\frac{\pi \left( e^{\mkakko{ク}}+[ケ] \right)}{[コ] \left( \pi^{\mkakko{サ}}+[シ] \right) e^{\mkakko{ス}n+\mkakko{セ}}} \]
となることがわかる．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$の和は$\displaystyle \frac{\pi}{[ソ] \left( \pi^{\mkakko{タ}}+[チ] \right) \left( e^{\mkakko{ツ}}-e \right)}$となる．

$a>0$とする．座標平面上に$2$つの放物線$C_1:y=x^2-2x+2$と$\displaystyle C_2:y=-\frac{1}{2}x^2+ax-\frac{3}{2}$がある．放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(2,\ 2)$を通り，点$\mathrm{P}$での接線に直交する直線を$\ell$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$つの放物線$C_1,\ C_2$が共有点をもたないとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)直線$\ell$が放物線$C_2$に接しているとき，$a$の値と接点の座標を求めよ．
(4)$a$を$(3)$で求めた値としたとき，直線$\ell$と放物線$C_1,\ C_2$および$y$軸で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$の値を求めよ．

座標平面上に放物線$\displaystyle y=x^2+\frac{1}{16}$と円$x^2+y^2-3y+1=0$がある．このとき，次の問に答えよ．

(1)円の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円の中心と円周上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{1}{2} \right)$を通る直線の傾きを求めよ．
(3)円周上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{1}{2} \right)$における円の接線の方程式を求めよ．
(4)$(3)$で求めた接線と放物線のすべての交点の座標を求めよ．
(5)$(3)$で求めた接線と放物線で囲まれた部分の面積を求めよ．

$k$を実数とし，座標平面上の$2$つの曲線
\[ C_1:y=k \cos x,\quad C_2:y=\sin 2x \]
を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C_1,\ C_2$が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において共有点をもつとき，$k$の取りうる値の範囲を求めよ．

以下では$k$が$(1)$の条件を満たすものとし，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$における$C_1$，$C_2$の共有点の$x$座標を$a$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(2)$\sin a$を$k$を用いて表せ．
(3)座標平面上の$0 \leqq x \leqq a$の部分において，$C_1$，$C_2$および$y$軸によって囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$k$を用いて表せ．
(4)座標平面上の$\displaystyle a \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分において，$C_1$，$C_2$によって囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_2$を$k$を用いて表せ．
(5)$k$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$S_1+S_2$の最小値を求めよ．