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私立 大阪薬科大学 2014年 第2問次の問いに答えなさい．
$t$を実数とする．座標平面上の$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$は，軸が$y$軸，頂点が原点$\mathrm{O}$の放物線であり，点$(-2,\ 1)$を通る．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}(-1,\ 0)$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．
(1)$f(1)$の値は$[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$\ell$の方程式を$t$を用いて表すと，$y=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に外分する点$\mathrm{G}$の軌跡を求め，またそれを図示しなさい．
(4)$m$が$C$の接線となるとき，$t=[$\mathrm{G]$}$である．このとき，$C$と$\ell$および$m$で囲まれる部分の面積は$[$\mathrm{H]$}$である．
$t$を実数とする．座標平面上の$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$は，軸が$y$軸，頂点が原点$\mathrm{O}$の放物線であり，点$(-2,\ 1)$を通る．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}(-1,\ 0)$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．
(1)$f(1)$の値は$[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$\ell$の方程式を$t$を用いて表すと，$y=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に外分する点$\mathrm{G}$の軌跡を求め，またそれを図示しなさい．
(4)$m$が$C$の接線となるとき，$t=[$\mathrm{G]$}$である．このとき，$C$と$\ell$および$m$で囲まれる部分の面積は$[$\mathrm{H]$}$である．
私立 早稲田大学 2014年 第1問下図のように，$1$辺の長さ$5$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，$1$辺の長さ$1$の正方形からなる格子で区画されている．点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{A}$から出発して次のルールに従って格子の上を動くものとする．$\mathrm{X}$と記したカードと，$\mathrm{Y}$と記したカード$5$枚ずつを，よくシャッフルして上から順にカードをめくる．$\mathrm{X}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{X}$方向，$\mathrm{Y}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{Y}$方向に$1$だけ動く．すべてのカードがめくり終わると，点$\mathrm{P}$は$\mathrm{C}$に到達していることになる．このとき，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AB}$，線分$\mathrm{BC}$で囲まれる部分の面積を$S_1$，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AD}$，線分$\mathrm{DC}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．以下の問に答えよ．
(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である．
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
（図は省略）
(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である．
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
（図は省略）
私立 早稲田大学 2014年 第1問下図のように，$1$辺の長さ$5$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，$1$辺の長さ$1$の正方形からなる格子で区画されている．点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{A}$から出発して次のルールに従って格子の上を動くものとする．$\mathrm{X}$と記したカードと，$\mathrm{Y}$と記したカード$5$枚ずつを，よくシャッフルして上から順にカードをめくる．$\mathrm{X}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{X}$方向，$\mathrm{Y}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{Y}$方向に$1$だけ動く．すべてのカードがめくり終わると，点$\mathrm{P}$は$\mathrm{C}$に到達していることになる．このとき，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AB}$，線分$\mathrm{BC}$で囲まれる部分の面積を$S_1$，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AD}$，線分$\mathrm{DC}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．以下の問に答えよ．
(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である．
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
（図は省略）
(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である．
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
（図は省略）
私立 大同大学 2014年 第4問$0<a<2$とする．曲線$y=x^4$の点$(a,\ a^4)$における接線を$\ell$とする．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=x^4$と$\ell$および$y$軸で囲まれる部分の面積$S(a)$を求めよ．
(3)曲線$y=x^4 (x \geqq a)$と直線$y=a^4$および直線$x=2$で囲まれる部分の面積$T(a)$を求めよ．
(4)$S(a)+T(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=x^4$と$\ell$および$y$軸で囲まれる部分の面積$S(a)$を求めよ．
(3)曲線$y=x^4 (x \geqq a)$と直線$y=a^4$および直線$x=2$で囲まれる部分の面積$T(a)$を求めよ．
(4)$S(a)+T(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．
私立 大同大学 2014年 第5問$y=x+\sqrt{x^2+5}$のとき，$x$を$y$で表した式を$x=f(y)$とする．
(1)$f(y)$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{\sqrt{5}}^5 f(y) \, dy$の値を求めよ．
(3)曲線$y=x+\sqrt{x^2+5}$，$x$軸，$y$軸および直線$x=2$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)$f(y)$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{\sqrt{5}}^5 f(y) \, dy$の値を求めよ．
(3)曲線$y=x+\sqrt{x^2+5}$，$x$軸，$y$軸および直線$x=2$で囲まれる部分の面積を求めよ．
私立 大同大学 2014年 第1問次の$[ア]$から$[ネ]$までの$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．
(1)$36+2 \sqrt{155}={(\sqrt{[ア][イ]}+\sqrt{[ウ]})}^2$であり，
\[ \frac{1}{\sqrt{36+2 \sqrt{155}}}+\frac{1}{\sqrt{36-2 \sqrt{155}}}=\frac{\sqrt{[エ][オ]}}{[カ][キ]} \]
である．
(2)放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が$x$軸の負の部分および正の部分と交わるような$k$の範囲は$\displaystyle -[ク]<k<\frac{[ケ]}{[コ]}$である．この範囲で$k$が動くとき，放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が切り取る$x$軸上の線分の長さの最大値は$\displaystyle \frac{[サ] \sqrt{[シ][ス]}}{[セ]}$である．
(3)$3$桁の整数で$3$の倍数は，全部で$[ソ][タ][チ]$個ある．$3$桁の整数で各位の数の和が$k$であるものの個数を$n(k)$とする（たとえば，$3$桁の整数で各位の数の和が$2$であるものは$101$，$110$，$200$の$3$個であるから，$n(2)=3$である）．このとき，$n(3)=[ツ]$，$n(27)=[テ]$，$n(24)=[ト][ナ]$であり，$n(6)+n(9)+n(12)+n(15)+n(18)+n(21)=[ニ][ヌ][ネ]$である．
(1)$36+2 \sqrt{155}={(\sqrt{[ア][イ]}+\sqrt{[ウ]})}^2$であり，
\[ \frac{1}{\sqrt{36+2 \sqrt{155}}}+\frac{1}{\sqrt{36-2 \sqrt{155}}}=\frac{\sqrt{[エ][オ]}}{[カ][キ]} \]
である．
(2)放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が$x$軸の負の部分および正の部分と交わるような$k$の範囲は$\displaystyle -[ク]<k<\frac{[ケ]}{[コ]}$である．この範囲で$k$が動くとき，放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が切り取る$x$軸上の線分の長さの最大値は$\displaystyle \frac{[サ] \sqrt{[シ][ス]}}{[セ]}$である．
(3)$3$桁の整数で$3$の倍数は，全部で$[ソ][タ][チ]$個ある．$3$桁の整数で各位の数の和が$k$であるものの個数を$n(k)$とする（たとえば，$3$桁の整数で各位の数の和が$2$であるものは$101$，$110$，$200$の$3$個であるから，$n(2)=3$である）．このとき，$n(3)=[ツ]$，$n(27)=[テ]$，$n(24)=[ト][ナ]$であり，$n(6)+n(9)+n(12)+n(15)+n(18)+n(21)=[ニ][ヌ][ネ]$である．
私立 久留米大学 2014年 第4問$2$つの曲線$y=6 \sin x$と$y=4-2 \cos 2x$は$x=[$10$]$で共通点を持つ．また，この$2$つの曲線で囲まれた部分の面積は$[$11$]$である．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
私立 安田女子大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)次の不等式の表す領域を図示せよ．ただし，作図は，定規やコンパスは使わず，全てフリーハンドで行い，該当領域には斜線を入れよ．
\[ (x-y-1)(x+y+1)>0 \]
(2)下の図の$2$つの直線と$1$つの円で囲まれた斜線部分の領域（境界線は含まない）を$1$つの不等式で表せ．
（図は省略）
(1)次の不等式の表す領域を図示せよ．ただし，作図は，定規やコンパスは使わず，全てフリーハンドで行い，該当領域には斜線を入れよ．
\[ (x-y-1)(x+y+1)>0 \]
(2)下の図の$2$つの直線と$1$つの円で囲まれた斜線部分の領域（境界線は含まない）を$1$つの不等式で表せ．
（図は省略）
私立 北里大学 2014年 第1問つぎの$[ ]$にあてはまる答を記せ．
(1)空間に$4$点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 4,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{D}(4,\ 1,\ 3)$がある．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$のなす角を$\theta$とおくとき，$\theta=[ア]$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(ii) 四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[イ]$である．
(2)$a$を実数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2-2x \log_2 \{(a+1)(a-5)\}+4=0$の解の$1$つが$2$であるとき，$a$の値は$[ウ]$である．また，この$2$次方程式が実数解をもたないような$a$の値の範囲は$[エ]$である．
(3)不等式$\displaystyle x^2+2x \leqq y \leqq 2x+2 \leqq \frac{4}{3}y$の表す領域の面積は$[オ]$である．また，この領域上の点$(x,\ y)$のうち，$5x-3y$が最小となるような点の座標は$[カ]$である．
(4)$n$は正の整数とする．階段を$1$度に$1$段，$2$段または$3$段登る．このとき，$n$段からなる階段の登り方の総数を$a_n$とする．例えば，$a_1=1$であり，$a_2=2$である．
(i) $a_3$の値は$[キ]$である．
(ii) $a_4$の値は$[ク]$である．
(iii) $a_{10}$の値は$[ケ]$である．
(5)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．曲線$y=\sin x$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t+\frac{\pi}{2},\ \sin \left( t+\frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線を$\ell$とおく．直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$を$m$とおき，法線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$のとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$[コ]$である．
(ii) 曲線$y=\sin x$と法線$\ell$および直線$m$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{S(t)}{t}$の値は$[サ]$である．
(1)空間に$4$点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 4,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{D}(4,\ 1,\ 3)$がある．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$のなす角を$\theta$とおくとき，$\theta=[ア]$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(ii) 四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[イ]$である．
(2)$a$を実数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2-2x \log_2 \{(a+1)(a-5)\}+4=0$の解の$1$つが$2$であるとき，$a$の値は$[ウ]$である．また，この$2$次方程式が実数解をもたないような$a$の値の範囲は$[エ]$である．
(3)不等式$\displaystyle x^2+2x \leqq y \leqq 2x+2 \leqq \frac{4}{3}y$の表す領域の面積は$[オ]$である．また，この領域上の点$(x,\ y)$のうち，$5x-3y$が最小となるような点の座標は$[カ]$である．
(4)$n$は正の整数とする．階段を$1$度に$1$段，$2$段または$3$段登る．このとき，$n$段からなる階段の登り方の総数を$a_n$とする．例えば，$a_1=1$であり，$a_2=2$である．
(i) $a_3$の値は$[キ]$である．
(ii) $a_4$の値は$[ク]$である．
(iii) $a_{10}$の値は$[ケ]$である．
(5)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．曲線$y=\sin x$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t+\frac{\pi}{2},\ \sin \left( t+\frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線を$\ell$とおく．直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$を$m$とおき，法線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$のとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$[コ]$である．
(ii) 曲線$y=\sin x$と法線$\ell$および直線$m$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{S(t)}{t}$の値は$[サ]$である．
私立 聖マリアンナ医科大学 2014年 第1問以下の設問の$[ ]$に答えなさい．
(1)$a$を$1$より大きな実数，$e$を自然対数の底とし，$f(x)=a^x \log_e a$とする．このとき，曲線$y=f(x)$，直線$x=10$，$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いた式で表すと，$S=[$1$]$となる．
(2)$\displaystyle \sin x-\cos x=\frac{1}{2}$（ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$）のとき，$\sin^4 x-\cos^4 x$の値を求めると$[$2$]$となる．
(3)数列$\{a_n\}$を初項$2$，公差$7$の等差数列，数列$\{b_n\}$を初項$1$，公比$2$の等比数列とし，数列$\{c_n\}$の第$n$項を$c_n=a_nb_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$を用いた式で表すと，$S_n=[$3$]$となる．また，$S_n=133132$となるのは$n=[$4$]$のときである．
(1)$a$を$1$より大きな実数，$e$を自然対数の底とし，$f(x)=a^x \log_e a$とする．このとき，曲線$y=f(x)$，直線$x=10$，$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いた式で表すと，$S=[$1$]$となる．
(2)$\displaystyle \sin x-\cos x=\frac{1}{2}$（ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$）のとき，$\sin^4 x-\cos^4 x$の値を求めると$[$2$]$となる．
(3)数列$\{a_n\}$を初項$2$，公差$7$の等差数列，数列$\{b_n\}$を初項$1$，公比$2$の等比数列とし，数列$\{c_n\}$の第$n$項を$c_n=a_nb_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$を用いた式で表すと，$S_n=[$3$]$となる．また，$S_n=133132$となるのは$n=[$4$]$のときである．