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国立 大分大学 2014年 第1問次の各問いに答えなさい．
(1)$n$本中$k$本の当たりが入ったクジを$n$人で順番に引く．引いたクジは元に戻さないとして，$i$番目にクジを引く人の当たる確率が$\displaystyle \frac{k}{n}$であることを示しなさい．ただし，$0<k<n$とする．
(2)関数$y_1=\sin x$と$y_2=2 \sin (a-x)$について，$y=y_1+y_2$の最大値が$\sqrt{7}$になるとき，定数$a$の値を求めなさい．
(3)放物線$y=ax^2$と直線$y=bx$で囲まれる部分の面積を$2$等分する直線$x=p$を求めなさい．ただし，$a,\ b>0$とする．
(1)$n$本中$k$本の当たりが入ったクジを$n$人で順番に引く．引いたクジは元に戻さないとして，$i$番目にクジを引く人の当たる確率が$\displaystyle \frac{k}{n}$であることを示しなさい．ただし，$0<k<n$とする．
(2)関数$y_1=\sin x$と$y_2=2 \sin (a-x)$について，$y=y_1+y_2$の最大値が$\sqrt{7}$になるとき，定数$a$の値を求めなさい．
(3)放物線$y=ax^2$と直線$y=bx$で囲まれる部分の面積を$2$等分する直線$x=p$を求めなさい．ただし，$a,\ b>0$とする．
国立 東京海洋大学 2014年 第4問座標平面上の放物線$C:y=-x^2+2ax-a^2+a+1$を考える．$a$が実数の範囲を動くとき，以下の問いに答えよ．
(1)$C$と放物線$\displaystyle y=x^2+\frac{1}{2}$との$2$つの共有点を結んだ線分の中点（共有点が$1$つの場合にはその点自身とする）が描く軌跡の長さを求めよ．
(2)$\displaystyle y \geqq x^2+\frac{1}{2}$の表す領域のうちで$C$が通過する部分の面積を求めよ．
(1)$C$と放物線$\displaystyle y=x^2+\frac{1}{2}$との$2$つの共有点を結んだ線分の中点（共有点が$1$つの場合にはその点自身とする）が描く軌跡の長さを求めよ．
(2)$\displaystyle y \geqq x^2+\frac{1}{2}$の表す領域のうちで$C$が通過する部分の面積を求めよ．
国立 徳島大学 2014年 第2問$0<a<1$とする．曲線$y=|x|x$を$C_1$とし，曲線$y=ax^2+x-a$を$C_2$とする．
(1)$C_1$と$C_2$の共有点のうち，第$3$象限にある共有点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の共有点が$2$個であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値をとるとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$C_1$と$C_2$の共有点のうち，第$3$象限にある共有点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の共有点が$2$個であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値をとるとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第2問座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$を第$1$象限に，点$\mathrm{B}$を$x$軸の正の部分に，$\mathrm{AO}=\mathrm{AB}=1$となるようにとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第2問座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$を第$1$象限に，点$\mathrm{B}$を$x$軸の正の部分に，$\mathrm{AO}=\mathrm{AB}=1$となるようにとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 九州工業大学 2014年 第4問関数$\displaystyle f(x)=-\tan x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$，$\displaystyle g(x)=\sin 2x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$について，次に答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$，$\displaystyle \int \tan^2 x \, dx$を求めよ．
(2)$b>0$とする．曲線$y=g(x)$および$3$直線$y=-b$，$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を直線$y=-b$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_1$を$b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$のとき，不等式$f(x)+g(x) \geqq 0$を示せ．
(4)$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$および直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を直線$\displaystyle y=-\frac{1}{\sqrt{3}}$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_2$を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$，$\displaystyle \int \tan^2 x \, dx$を求めよ．
(2)$b>0$とする．曲線$y=g(x)$および$3$直線$y=-b$，$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を直線$y=-b$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_1$を$b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$のとき，不等式$f(x)+g(x) \geqq 0$を示せ．
(4)$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$および直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を直線$\displaystyle y=-\frac{1}{\sqrt{3}}$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_2$を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第2問座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$を第$1$象限に，点$\mathrm{B}$を$x$軸の正の部分に，$\mathrm{AO}=\mathrm{AB}=1$となるようにとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 高知大学 2014年 第1問$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．関数$f(x)=(x-\cos \theta+\sin \theta)^2+2 \sin^2 \theta-1$について，次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$が実数解を持つような$\theta$の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解を持つとき，その二つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha+\beta$の最大値および最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$となるときの$\theta$の値を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$が実数解を持つような$\theta$の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解を持つとき，その二つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha+\beta$の最大値および最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$となるときの$\theta$の値を求めよ．
国立 小樽商科大学 2014年 第4問下図のように半径$1$の円$C_1$の内部に半径$x$の円$C_2$と半径$(1-x)$の円$C_3$が内接している．ただし$0<x<1$とする．円$C_1$の内部で円$C_2$と円$C_3$の外部の部分（図の斜線部分）の面積の最大値を求めよ．
（図は省略）
（図は省略）
国立 小樽商科大学 2014年 第5問$2$つの曲線$K_1:y=\sin x$と$K_2:y=-\cos x+a$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
(1)$K_1$と$K_2$が接するとき，接点の座標と$a$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$a$に対して，$y$軸と$K_1$，$K_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$K_1$と$K_2$が接するとき，接点の座標と$a$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$a$に対して，$y$軸と$K_1$，$K_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．