$xy$平面の$y \geqq 0$の部分にあり，$x$軸に接する円の列$C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$を次のように定める．
\begin{itemize}
$C_1$と$C_2$は半径$1$の円で，互いに外接する．
正の整数$n$に対し，$C_{n+2}$は$C_n$と$C_{n+1}$に外接し，$C_n$と$C_{n+1}$の弧および$x$軸で囲まれる部分にある．
\end{itemize}
円$C_n$の半径を$r_n$とする．

(1)等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_n}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}$を示せ．

(2)すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}=s \alpha^n+t \beta^n$が成り立つように，$n$によらない定数$\alpha,\ \beta,\ s,\ t$の値を一組与えよ．

(3)$n \to \infty$のとき数列$\displaystyle \left\{ \frac{r_n}{k^n} \right\}$が正の値に収束するように実数$k$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．

$a_1,\ a_2,\ a_3$は定数で，$a_1>0$とする．放物線$C:y=a_1x^2+a_2x+a_3$上の点$\mathrm{P}(2,\ 4a_1+2a_2+a_3)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}(q,\ 0)$，$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}(0,\ a_4)$とする．$a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$がこの順に等差数列であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を$a_1$を用いて表せ．
(2)$q$の値を求めよ．
(3)放物線$C$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S=q$となるとき，$a_1$を求めよ．

半径$1$の$2$つの球$S_1$と$S_2$が$1$点で接している．互いに重なる部分のない等しい半径を持つ$n$個（$n \geqq 3$）の球$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$があり，次の条件（ア），（イ）を満たす．

\mon[（ア）] $T_i$は$S_1$，$S_2$にそれぞれ$1$点で接している（$i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
\mon[（イ）] $T_i$は$T_{i+1}$に$1$点で接しており（$i=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$），そして$T_n$は$T_1$に$1$点で接している．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の共通の半径$r_n$を求めよ．
(2)$S_1$と$S_2$の中心を結ぶ直線のまわりに$T_1$を回転してできる回転体の体積を$V_n$とし，$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の体積の和を$W_n$とするとき，極限
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{W_n}{V_n} \]
を求めよ．

$xy$平面上の曲線$C:y=x^3+x^2+1$を考え，$C$上の点$(1,\ 3)$を$\mathrm{P}_0$とする．$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{k-1}(x_{k-1},\ y_{k-1})$における$C$の接線と$C$の交点のうちで$\mathrm{P}_{k-1}$と異なる点を$\mathrm{P}_k(x_k,\ y_k)$とする．このとき，$\mathrm{P}_{k-1}$と$\mathrm{P}_k$を結ぶ線分と$C$によって囲まれた部分の面積を$S_k$とする．

(1)$S_1$を求めよ．
(2)$x_k$を$k$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{S_k}$を求めよ．

実数$a$に対し，関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+1} |t+1| \, dt+a$を考える．曲線$C:y=f(x)$が$x$軸と$2$個の共有点を持つための$a$の範囲を求めよ．またこのとき曲線$C$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

二つの関数$f(x)=x \sin x$，$g(x)=\sqrt{3}x \cos x$について次の問いに答えよ．ただし，$(3)$と$(4)$において，$a$および$h(x)$は$(2)$で定めたものとする．

(1)$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の共有点のうち，$x$座標が$-\pi \leqq x \leqq \pi$であるものをすべて求めよ．
(2)$(1)$で求めた共有点のうち，$x$座標が正である点を$\mathrm{A}(a,\ f(a))$とする．点$\mathrm{A}$における曲線$y=g(x)$の接線を$y=h(x)$と表す．$h(x)$を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq a$のとき，$h(x) \geqq g(x)$であることを示せ．
(4)$0 \leqq x \leqq a$の範囲において，$y$軸，曲線$y=g(x)$，および直線$y=h(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$xy$平面上の曲線$C:y=x \sin x+\cos x-1 (0<x<\pi)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし$\displaystyle 3<\pi<\frac{16}{5}$であることは証明なしで用いてよい．

(1)曲線$C$と$x$軸の交点はただ$1$つであることを示せ．
(2)曲線$C$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}(\alpha,\ 0)$とする．$\displaystyle \alpha>\frac{2}{3}\pi$であることを示せ．
(3)曲線$C$，$y$軸および直線$\displaystyle y=\frac{\pi}{2}-1$で囲まれる部分の面積を$S$とする．また，$xy$平面の原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}$および曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}-1 \right)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$T$とする．$S<T$であることを示せ．

放物線$C:y=ax^2+bx+c (a \neq 0)$が点$\mathrm{P}(1,\ -2)$と$\mathrm{Q}(5,\ 10)$を通るとし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における$C$の接線をそれぞれ$\ell$，$m$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$b,\ c$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)$\ell$と$m$の交点の$y$座標が$-4$であるとき，$a,\ b,\ c$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b,\ c$について，放物線$C$と$\ell$，$m$で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=(-4x^2+2)e^{-x^2}$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$a$を$a \geqq 0$となる実数とし，$\displaystyle I(a)=\int_0^a e^{-x^2} \, dx$とする．このとき，定積分$\displaystyle \int_0^a x^2e^{-x^2} \, dx$を$a,\ I(a)$を用いて表せ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸，$y$軸および直線$x=5$で囲まれる部分の面積を求めよ．

座標平面上の曲線$y=|x^2+2x|$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$と直線$y=x+2$の共有点の座標を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$y=x+2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$y=x+a$がちょうど$2$つの共有点をもつような実数$a$の値の範囲を求めよ．