関数$f(x)=(1-x)e^{2x}$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=1-x$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(0,\ 1)$における接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との交点は$(0,\ 1)$のみであることを示せ．

曲線$C:y=x^n$（$n$は$2$以上の偶数）上に点$\mathrm{A}(-a,\ a^n) (a>0)$と点$\mathrm{B}(b,\ b^n) (b>0)$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$とする．また，線分$\mathrm{AB}$と$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)$S_1$を求めよ．
(2)$S_2$を求めよ．
(3)$\displaystyle S_2 \geqq \frac{2n}{n+1}S_1$が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a$と$b$は正の実数）の$x>0$の部分を$H$とする．このとき，点$(-a,\ 0)$を通る傾き$t$の直線と$H$との交点を考えることにより，$H$上の点$(x,\ y)$の$x$と$y$をそれぞれ$t$の分数式で表せ．
(2)$(1)$のやり方を用いて，$y=\sqrt{x^2-1} (x>1)$で表される曲線を媒介変数$t$の分数式で表示せよ．
(3)$(2)$の結果を用いて不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \, dx$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=(x-1)^2 \sqrt{2x+1} \left( x \geqq -\frac{1}{2} \right)$を考える．

(1)$f^\prime(x)$を求め，$\displaystyle \lim_{x \to -\frac{1}{2}+0} f^\prime(x)$を調べよ．ただし，$x>a$の範囲で$x$が$a$に限りなく近づくとき，$x \to a+0$と表す．
(2)関数$f(x)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸や変曲点は調べなくてよい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

$a>0$，$\displaystyle b>\frac{1}{2}$とする．$xy$平面上に，

曲線$C_1$：$y=\log x (x>0)$，曲線$C_2$：$y=ax^2-b (x>0)$

がある．$C_1$と$C_2$は点$\mathrm{P}$で接している．$\mathrm{P}$の$x$座標を$b$の関数と考えて$x(b)$とする．$C_1$と$C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$b$の関数と考えて$S(b)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(b)$を$b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S \left( \frac{3}{2} \right)$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{b \to \infty} S(b)=1$となることを示せ．

$a$と$c$は実数で$a>0$とする．また，関数$f(x)$を次式で定義する．
\[ f(x)=(x^2+a)(x-a^2)^2-cx^2 \]

(1)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を求めよ．
今後，方程式$f(x)=0$が$3$個の異なる実数解を持つ場合のみを取り扱う．
(2)方程式$f(x)=0$の$3$個の異なる実数解を$a$を用いて表せ．
(3)$y=f(x)$のグラフのうち$f(x) \geqq 0$の部分と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする．このとき$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{S(a)}{a^5}$を求めよ．

関数$y=xe^{-x}$のグラフを$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=xe^{-x}$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，増減表をつくり，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$を用いてもよい．
(2)$C$の変曲点における接線を$\ell$とする．$\ell$と$x$軸の交点を求めよ．
(3)$C$と$\ell$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．

\mon[$①$] $\displaystyle \int t \sin t \, dt$
\mon[$②$] $\displaystyle \int t^2 \cos t \, dt$

座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とし半径$1$の円$C$上の$x \geqq 0$の範囲にある点$\mathrm{P}(x_p,\ y_p)$に対して，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の部分とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．また，$\mathrm{P}$における$C$の接線上に点$\mathrm{Q}(x_q,\ y_q)$を次の条件をみたすようにとる．
\begin{itemize}
$y_q \leqq y_p$
線分$\mathrm{PQ}$の長さは，$C$上の弧$\mathrm{OP}$（ただし弧全体が$x \geqq 0$に存在する方）の長さに等しい
$\mathrm{P}$の座標が$(0,\ 2)$のときは$x_q=\pi$となるように$\mathrm{Q}$をとる
$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$と一致する場合は$\mathrm{Q}$も$\mathrm{O}$とし，$\theta=0$とする
\end{itemize}
(2)$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$y_q$の最大値と最小値を求めよ．
(5)$\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の描く曲線と$y$軸および直線$y=2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$k>0$とする．関数$f(x)=x^3-10x^2+kx$がある．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$が$x$軸と接するとき，以下の問いに答えよ．

(1)$k$の値を求めよ．
(2)$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ．

$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$とし，$a,\ b,\ c$は実数とする．$y=f(x)$によって表される曲線を$C$とおく．$C$は$x$軸と点$(-1,\ 0)$でのみ交わるとする．さらに，$C$の接線で傾きが$-1$のものがただ一つ存在するとし，それを$\ell$とする．

(1)$f^\prime(-1)>0$となることを示せ．
(2)$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$C$と$\ell$の接点の$x$座標が$1$であるとき，$C$と$\ell$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．