放物線$y=-x^2+4$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{P}$におけるこの放物線の接線と点$\mathrm{P}$で直交する直線を$\ell$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)この放物線上の点$\displaystyle \left( -\frac{3}{2},\ \frac{7}{4} \right)$を通るような直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)この放物線と$x$軸で囲まれた図形は，$(1)$で求めた直線で$3$つの部分に分けられる．点$(0,\ 4)$，$(0,\ 3)$，$(0,\ 2)$を含む部分の面積をそれぞれ$S_1$，$S_2$，$S_3$とするとき，$S_1:S_2:S_3$を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．なお，$k>0$として，解答はすべて数あるいは$k$を用いた式で示すこと．

(1)$2$次関数$f(x)=-x^2+(k-1)x+k$を考える．放物線$y=f(x)$の頂点の座標は$([ア],\ [イ])$となり，この放物線上の点$(0,\ f(0))$における接線を$\ell$とすると，$\ell$の方程式は$y=([ウ])x+[エ]$となる．
(2)次に$2$次関数$g(x)=x^2+ax+b$（$a,\ b$は定数）を考える．放物線$y=g(x)$が点$(k,\ 0)$において放物線$y=f(x)$と接線を共有するとき，$a,\ b$の値はそれぞれ$[オ]$，$[カ]$であり，$\ell$と放物線$y=g(x)$との交点の$x$座標はそれぞれ$[キ]$，$[ク]$となる（ただし$[キ]<[ク]$とする）．
(3)さらに$\ell$と放物線$y=g(x)$とで囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$を$k$で表すと$[ケ]$となる．また，$\ell$は$k=[コ]$のとき放物線$y=g(x)$と$x$軸上で交わり，そのときの$S$は$[サ]$となる．

$xy$平面において，放物線$C:y=9x^2$を$x$軸方向に$t$（ただし，$t>0$），$y$軸方向に$8$だけ平行移動して得られる放物線を$D$とする．また，$C$上の点$(p,\ 9p^2)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$D$の方程式は$y=9x^2-[アイ]tx+[ウ]t^2+[エ]$である．
(2)$\ell$の方程式は$y=[オカ]px-[キ]p^2$である．
以下，$\ell$は$D$にも接しているとする．
(3)$p$を$t$を用いて表すと，$\displaystyle p=\frac{[ク]}{[ケ]t}$である．また，$\ell$と$D$の接点の$x$座標$X$を$t$を用いて表すと
\[ X=t+\frac{[コ]}{[サ]t} \]
である．
(4)$X$は$\displaystyle t=\frac{[シ]}{[ス]}$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$をとる．このとき，$C$と$D$と$\ell$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．

原点を中心とした半径$1$の円に内接する正三角形$T_1$がある．$T_1$の頂点の$1$つが$\mathrm{A}(0,\ 1)$であり，$T_1$の残りの頂点のうち，$x$座標が負の値である方を$\mathrm{B}$とする．また，$T_1$を原点に関して対称移動したものを$T_2$とする．

(1)直線$\mathrm{AB}$の方程式は，$[$1$]$である．
(2)直線$\mathrm{AB}$と$T_2$の辺との交点のうち，$x$座標の値が大きい方の座標は$(x,\ y)=[$2$]$である．
(3)$T_1$と$T_2$が重なる部分の面積は$[$3$]$である．

$x=\sin t$，$y=\sin 2t$で表される曲線がある．ただし$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$とする．

(1)$y$を$x$で表すと$y=[$4$]$となる．
(2)曲線と$x$軸とで囲まれた部分の面積は$[$5$]$である．

$x$は実数で，関数$f(x)$は$x>0$において$f(x)=(x^x-1)(\log_e x+1)$と定義されている．

(1)$f(x)=0$となる$x$の値は，$[$10$]$である．
(2)$x^x$の導関数は$[$11$]$となる．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積は$[$12$]$である．

下図のように太陽が雲間から見えた．観察された太陽を半径$r$の円と仮定し，図のように見えた太陽の円周上の$2$点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$，円周上に一点$\mathrm{D}$を線分$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AB}$が互いに直交するようにとる．$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{CD}=c$とおくとき，$r$と$a,\ c$の関係を式で表わすと$[$8$]$となる．このとき$r$の最小値を$c$を用いて表わすと，$[$9$]$である．また$c<r$の場合，観察された太陽の中心を$\mathrm{O}$とする．この円を$\mathrm{OD}$を通る直径を軸に回転させてできる球において$\mathrm{AB}$を通り$\mathrm{OD}$に垂直な平面で$2$つの図形に分けたとき，点$\mathrm{D}$を含む部分の体積を$a,\ c$を用いて表すと$[$10$]$である．
（図は省略）

以下の問いに答えなさい．

(1)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int e^{-2x} \cos 2x \, dx \]
(2)$n$を正の整数とする．曲線
\[ y=e^{-x} \sin x \quad ((n-1) \pi \leqq x \leqq n\pi) \]
と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V_n$を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた$V_n$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_{2n-1}=V_1+V_3+V_5+\cdots$を求めなさい．

座標平面において曲線$\displaystyle y=\frac{3}{x^2+3}$を$C_1$，曲線$y=x^2+k$（$k$は定数）を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$のすべての共有点において互いの接線が直交しているとき，以下の問いに答えなさい．

(1)定数$k$の値を求めなさい．また，$C_1$と$C_2$のすべての共有点の座標を求めなさい．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めなさい．

関数$f(x),\ g(x)$を$f(x)=e^{-x}\sin x$，$g(x)=e^{-x}\cos x$とおく．$f(x),\ g(x)$の不定積分を$\displaystyle I=\int f(x) \, dx$，$\displaystyle J=\int g(x) \, dx$とおく．$k$を自然数とし，$(k-1) \pi \leqq x \leqq k\pi$において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$，および$2$直線$x=(k-1) \pi$，$x=k\pi$で囲まれる$2$つの部分の面積の和を$S_k$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$I=J+F(x)+C_1$，$J=-I+G(x)+C_2$を満たす関数$F(x)$，$G(x)$を求めよ．ただし，$C_1$，$C_2$は積分定数である．
(2)$I,\ J$を求めよ．
(3)$S_k$を求めよ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty S_k$を求めよ．