次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)関数$f(x)=3^x$の導関数は$f^\prime(x)=[ア]$であり，$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=[イ]$である．したがって，座標平面内において，点$(1,\ 3)$における曲線$C:y=f(x)$の接線$\ell$の方程式は$y=[ウ]$であり，法線$m$の方程式は$y=[エ]$である．さらに，曲線$C$，接線$\ell$，$y$軸と直線$x=2$で囲まれた部分の面積は$[オ]$であり，法線$m$と$x$軸の交点の座標は$([カ],\ 0)$である．
(2)$1$から$9$までの番号札$9$枚を入れた箱がある．その箱から番号札を$1$枚ずつ$2$回取り出して，その数を順に$x,\ y$とする．ただし，$1$度取り出した札はもとに戻さないとする．$\displaystyle \frac{y}{x}$が整数になる確率は$[キ]$であり，$\displaystyle \frac{y}{x} \leqq \frac{1}{2}$となる確率は$[ク]$であり，$\displaystyle \frac{y}{x} \geqq 3$となる確率は$[ケ]$である．また，$\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{y}{x}<3$となる確率は$[コ]$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面内に曲線$C:y=\log (x+1)$，点$\mathrm{P}(t,\ 0)$と点$\mathrm{Q}(t,\ \log (t+1))$を考える．ただし，$t$は正の実数とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$軸，直線$x=t$と曲線$C$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$T(t)$とする．次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{t \to \infty} \frac{T(t)}{S(t)} \]
(3)点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(4)台形$\mathrm{OPQR}$の面積を$U(t)$とする．次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{t \to \infty} \frac{U(t)}{S(t)} \]

点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円と，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の円がある．$2$つの円が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっており，$\mathrm{OP}=\sqrt{3}+1$であるとする．また，四角形$\mathrm{AOBP}$の面積を$S$とする．

(1)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{OAP}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{[サ][シ]}$である．

(2)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{AOP}=\frac{\sqrt{[ス][セ]}}{2}$であり，$\mathrm{AB}=[ソ][タ] \sqrt{3}$である．

(3)四角形$\mathrm{AOBP}$の面積は$S=[チ][ツ]+\sqrt{3}$である．

(4)$2$つの円が重なり合った部分の面積は$\displaystyle \frac{[テ][ト]}{6} \pi-S$である．ただし，$\pi$は円周率を表す．

放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$上の点$\displaystyle \left( 4,\ \frac{17}{2} \right)$における接線を$\ell$とする．

(1)点$(4,\ 0)$を通り，接線$\ell$に直交する直線$m$の方程式は
\[ y=-\frac{[モ]}{[ヤ]}x+[ユ] \]
である．
(2)この放物線と直線$m$の$2$つの交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$（ただし$\alpha>\beta$）とすれば$\alpha$は
\[ \alpha=\frac{-[ヨ]+\sqrt{[ラリ]}}{[ル]} \]
である．
(3)この放物線と直線$m$および直線$x=0$で囲まれた図形のうち第$1$象限にある部分の面積を$S_1$，放物線と直線$m$および直線$x=4$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．このとき$2$つの面積の差は
\[ S_2-S_1=\frac{[レロ]}{3} \]
である．

次の問いに答えなさい．

$a,\ b$を正の実数の定数とし，$2$次関数$f(x)=3x^2+ax+b$を考える．$xy$座標平面上の放物線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(1,\ f(1))$における接線を$\ell$とする．また，$\ell$を$y$軸方向に$3$だけ平行移動した直線を$m$とする．
(1)$C$の頂点の$y$座標を$q$とするとき，$q$は，$a$と$b$を用いて表すと$q=[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$C$と$m$で囲まれる部分の面積$S$の値は$S=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$\ell$と$x$軸の交点の$x$座標を$r$とする．このとき，$r$は，$a$と$b$を用いて表すと$r=[$\mathrm{G]$}$である．また，大小$2$個のさいころを投げ，大きいさいころの出た目の数を$a$の値，小さいさいころの出た目の数を$b$の値とするとき，$\displaystyle 0 \leqq r \leqq \frac{1}{6}$である確率$P$の値は$P=[$\mathrm{H]$}$である．ただし，大小$2$個のさいころはそれぞれ$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
(4)$C$と$x$軸の共有点が$2$個であるとき，その共有点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする（$\alpha<\beta$）．$C$と$x$軸の共有点が$2$個であり，かつ$a,\ b$それぞれが$1 \leqq a \leqq 6$，$1 \leqq b \leqq 6$を満たす整数であるとき，$\alpha^2+\beta^2$のとり得る値の最大値と最小値を$[い]$で求めなさい．

$f(x)=x^2-4x+1$とする．

(1)関数$y=f(|x|)$のグラフ$C$をかけ．
(2)$y=ax (a>0)$で表される直線$\ell$が，$C$とちょうど$3$個の共有点をもつとする．このとき定数$a$の値を求めよ．
(3)$\ell$と$C$で囲まれた図形のうち，$\ell$より上側にある部分の面積を求めよ．

$2$次関数$y=x^2-mx+m^2-3m$のグラフを$C$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$m$は定数である．

(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$x$軸と$C$との共有点が$1$点$\mathrm{P}$だけであるとき，$m$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$x$軸の$x \geqq 1$の部分と$C$とが，異なる$2$点で交わるような$m$の値の範囲を求めよ．

辺の長さが$1$の正方形を$S_1$とし，$S_1$に内接する円を$C_1$，$C_1$に内接するひとつの正方形を$S_2$，$S_2$に内接する円を$C_2$とする．以下同様に，自然数$n$に対し，正方形$S_n$，円$C_n$を定める．すなわち，正方形$S_n$の内接円が$C_n$であり，正方形$S_{n+1}$は円$C_n$に内接している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$S_n$の辺の長さを$l_n$とするとき，$C_n$の半径を$l_n$で表せ．
(2)数列$\{l_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$の内部から$C_n$の内部を除いた部分の面積を$a_n$とする．$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$上の点$\mathrm{P}(2,\ \sqrt{3})$における接線を$\ell$とする．第$1$象限に中心をもつ円$O$が$x$軸に接し，かつ点$\mathrm{P}$で直線$\ell$に接するとき，次の各問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$を通り，直線$\ell$に直交する直線の方程式を求めよ．
(2)円$O$の中心の座標と半径を求めよ．
(3)円$O$の外部において，放物線$C$，円$O$および$x$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ．

$\displaystyle 0<x \leqq \frac{1}{2}\pi$のとき，関数$f(x)=\{1+\log (\sin x)\} \cos x$，曲線$L:y=f(x)$について考える．

(1)$f(x)=0$のとき$\sin x$の値は$[ア]$と$[イ]$である．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)=[ウ]$である．
(3)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx=[エ]+C$である．ここで$C$は積分定数とする．
(4)曲線$L$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[オ]$である．