$0 \leqq t<2\pi$とする．関数$f(x)=2x^2+(2+\sin t)x+\cos^2 t-2$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$のとき，$y=f(x)$の最小値を求めよ．
(2)$t$がどのような値であっても，$y=f(x)$のグラフは$x$軸と異なる$2$つの共有点を持つことを示せ．
(3)$y=f(x)$のグラフが，$x$軸から切り取る線分の長さの最小値を求めよ．
(4)$(3)$のとき，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$xy$平面において，曲線$C:x^2+y^2=1 (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$，および直線$\ell:y=(\tan \theta)x$を考える．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$をみたす定数とする．$S_1,\ S_2,\ S_3$を次によって定める．

$S_1:$ $y$軸，曲線$C$，直線$\ell$で囲まれた部分の面積
$S_2:$ $x$軸，曲線$C$，直線$x=\cos \theta$で囲まれた部分の面積
$S_3:$ $x$軸，直線$\ell$，直線$x=\cos \theta$で囲まれた部分の面積

次の問いに答えよ．

(1)$S_1$および$S_2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$S_1=S_2$となる$\theta$が存在することを示せ．
(3)$S_1=S_2=S_3$となる$\theta$は存在しないことを示せ．

$a$を正の定数とし，曲線$\displaystyle y=a \cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle y=\sin x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$y$軸によって囲まれる部分の面積が$\sqrt{3}-1$であるとする．次の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)曲線$\displaystyle y=a \cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$の交点を求めよ．
(3)曲線$\displaystyle y=a \cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$と$y$軸によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$a$を定数とし，$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}$とする．媒介変数$t$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\cos^3 t \\
y=\sin^3 t \phantom{2^{\mkakko{}}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right. \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と表される曲線を$C$とする．また，$C$の$0 \leqq t \leqq a$の部分の長さを$L$とする．

(1)$L$を$a$を用いて表せ．ただし，$L$は$\displaystyle L=\int_0^a \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$と表される．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(\cos^3 a,\ \sin^3 a)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離を$M$とするとき，$\displaystyle L=\frac{3}{2}M$が成り立つことを示せ．

すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^\prime(x)$は連続とする．$f(x)$，$f^\prime(x)$が等式
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=1$，および$x$軸，$y$軸で囲まれた部分を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$2$つの関数$f(x)=x^2+4$，$g(x)=x^2$について，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた接線と，曲線$y=g(x)$との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．曲線$y=g(x)$の，点$\mathrm{A}$における接線と点$\mathrm{B}$における接線との交点を$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{C}$は曲線$y=x^2-4$上にあることを示せ．
(3)直線$\mathrm{AB}$と曲線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積は，$a$の値によらずに一定であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=3 |x^2-2x-3|$のグラフをかけ．
(2)$1<t<3$を満たす定数$t$を考える．曲線$y=3 |x^2-2x-3|$の$t \leqq x \leqq t+2$における部分と$x$軸，および$2$直線$x=t$，$x=t+2$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$t$が$1<t<3$の範囲を動くときの$S(t)$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

$a$を定数とする．$2$曲線

$\displaystyle C_1:y=-\frac{3}{2} \cos 2x \quad (0<x<2\pi)$
$\displaystyle C_2:y=a \cos x-a-\frac{3}{4} \quad (0<x<2\pi)$

を考える．$C_1$と$C_2$は共有点をもち，ある共有点での$C_1$と$C_2$の接線は一致し，かつその傾きは$0$でないとする．次の問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の概形を同一座標平面上にかけ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$n$を$2$以上の整数とする．曲線$\displaystyle y=\sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$，直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$および$x$軸で囲まれる部分の面積を$n-1$本の曲線$y=a_k \cos x (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1)$によって$n$等分するとき，下の問いに答えよ．ただし，$0<a_1<a_2<\cdots<a_{n-1}$とする．

(1)$n=2$のとき，$a_1$の値を求めよ．
(2)$a_k$を$n$と$k$で表せ．

放物線$C:y=-a^2 x^2+1$と直線$\ell:y=a(x+1)$について，次の各問に答えよ．ただし，$a$は$a>0$を満たす定数とする．

(1)$C$と$\ell$が異なる$2$つの共有点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\ell$が$C$に接するとき，不等式$x \leqq 0$の表す領域内において$C$と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．