次の$\tocichi$，$\tocni$に答えよ．

\mon[$\tocichi$] 次の$5$つの定積分を求めよ．（$\tocni \ (4)$で用いる．）

$\displaystyle I_1=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad I_2=\int_0^\pi x^2 \cos x \, dx,\quad I_3=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx$

$\displaystyle I_4=\int_0^\pi x \cos x \sin x \, dx,\quad I_5=\int_0^\pi \sin^2 x \cos x \, dx$

\mon[$\tocni$] 関数$y=\sin x$のグラフを曲線$C$とする．$C$上の点$\mathrm{O}(0,\ 0)$における接線を$\ell_1$，点$\mathrm{A}(\pi,\ 0)$における接線を$\ell_2$とする．
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{B}$，$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sin t) (0 \leqq t \leqq \pi)$から$\ell_1$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．ただし，$t=0$のときは$\mathrm{Q}=\mathrm{P}$とする．$\mathrm{OQ}=s$とおく．

\mon[$(1)$] $\angle \mathrm{OBA}$の大きさを求めよ．
\mon[$(2)$] $s$を$t$を用いて表せ．
\mon[$(3)$] 線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．
\mon[$(4)$] 曲線$C$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた部分を，直線$\ell_1$の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

座標平面上の$2$つの放物線
\[ \begin{array}{rcl}
C_1 & : & y=x^2 \\
C_2 & : & y=-x^2+ax+b \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \]
を考える．ただし，$a,\ b$は実数とする．

(1)$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で交わるための$a,\ b$に関する条件を求めよ．
以下，$a,\ b$が$(1)$の条件を満たすとし，$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積が$9$であるとする．
(2)$b$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$がすべての実数値をとって変化するとき，放物線$C_2$の頂点が描く軌跡を座標平面上に図示せよ．

$f(x)=x^2-2x+2$とする．放物線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における接線を$\ell_1$とし，放物線$y=f(x)$上の点$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$における接線を$\ell_2$とする．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．ただし$p$は定数である．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式をそれぞれ$p$を用いて表せ．
(2)交点$\mathrm{R}$の座標を$p$を用いて表せ．
(3)放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$上の点を$\mathrm{A}(a,\ b)$とし，$f(x)=(x-a)^2+b$とする．点$\mathrm{B}(0,\ -2)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線を$\ell_1$，$\ell_2$とし，接点をそれぞれ$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(q,\ f(q))$とする．ただし$p<q$である．放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell_1$の方程式と接点$\mathrm{P}$の座標，および接線$\ell_2$の方程式と接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)面積$S$を$b$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$が円周$C$上を動くとき，面積$S$の最大値とそのときの点$\mathrm{A}$の座標$(a,\ b)$を求めよ．

$a$を実数とする．曲線$C_1:y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$における接線を$\ell$とする．曲線$C_2$を$y=x^2-1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$C_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}$とする．曲線$C_3:y=-x^2+1$と$C_2$とで囲まれた部分は$\ell$によって$2$つの部分に分けられる．これらのうち，点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を含む部分の面積を求めよ．

$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}a, -a \right)$を頂点とし，点$(a,\ 0)$を通る放物線である．ただし，$a \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．

頂点が点$\mathrm{A}(0,\ 4)$で，点$\mathrm{B}(2,\ 0)$を通る放物線を考える．次の問いに答えよ．

(1)この放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．
(2)この放物線上にあり，$x$座標が$2a (a>0)$である点を$\mathrm{C}$とする．この放物線と$x$軸との交点で，点$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{C}$における放物線の接線$\ell_1$と点$\mathrm{D}$における放物線の接線$\ell_2$との交点$\mathrm{E}$の座標を，$a$を使って表せ．
(3)この放物線と直線$\ell_2$，および点$\mathrm{E}$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を求めよ．

$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}a, -a \right)$を頂点とし，点$(a,\ 0)$を通る放物線である．ただし，$a \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．

$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}a, -a \right)$を頂点とし，点$(a,\ 0)$を通る放物線である．ただし，$a \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．

関数$f(x)=e^{-x}\cos \sqrt{3}x$について以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2 \sqrt{3}}{3}\pi$の範囲で$f(x)=0$をみたす$x$の値をすべて求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2 \sqrt{3}}{3}\pi$の範囲で$f(x)$の増減を調べよ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(3)部分積分を$2$回用いて$f(x)$の不定積分を求めよ．
(4)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2 \sqrt{3}}{3}\pi$の範囲で$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=e^{-x}$によって囲まれた部分の面積を求めよ．