$f(x)=e^{-x} \sin x,\ g(x)=e^{-x} \cos x$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$について，$f^\prime(x)=af(x+b)$が成り立つような定数$a,\ b$を求めよ．ただし，$0 \leqq b \leqq \pi$とする．
(3)$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{5\pi}{4}$において，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$のとき，$x^2+y^2=[ア]$，$x^2-y^2=[イ]$である．

(2)関数$y=-2x^2+6x-5 (0 \leqq x \leqq 2)$の最大値は$[ウ]$，最小値は$[エ]$である．
(3)円$C_1:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と点$\mathrm{A}(3,\ 0)$の中点$\mathrm{Q}$の座標は$[オ]$である．これより，$\mathrm{P}$が$C_1$上をもれなく動くとき，$\mathrm{Q}$の描く軌跡は円であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C_2:y=x^2-2x$と直線$\ell:y=x$がある．$C_2$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり，$C_2$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である．

次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，
\[ \sin \left( x+\frac{\pi}{3} \right)+\cos \left( x-\frac{\pi}{3} \right) \]
の最大値と最小値を求めよ．
(2)空間内の$2$点$(-2,\ 5,\ -1)$，$(2,\ 1,\ 3)$を通る直線の，$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$z \geqq 0$を同時に満たす部分の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{TSUDAJUKU}$という単語に使われている$9$文字から$4$文字を選び順列を作る．$\mathrm{U}$という文字がちょうど$2$文字含まれる順列は何通りあるか．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

$3$次関数$y=f(x)=x^2(x-3)$で与えられる曲線を$C$とする．

(1)関数$y=f(x)$は，$x=[ア]$のとき極大値$[イ]$をとる．また，$x=[ウ]$のとき極小値$[エ]$をとる．
(2)点$(1,\ -2)$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式は$y=[オ]$である．
(3)$(1)$の$[ア]$から$[エ]$で表される$2$点$([ア],\ [イ])$，$([ウ],\ [エ])$が$2$次関数$y=x^2+px+q$で与えられる放物線$C^\prime$上にあるとき，$p=[カ]$，$q=[キ]$である．
(4)$(2)$で求めた接線$\ell$と$(3)$で求めた放物線$C^\prime$で囲まれた部分の面積は$[ク]$である．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$6$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$6$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$k$となる場合の数を$f(k)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(k,\ f(k))$は，直線$x=[ア]$に関して対称な$2$直線上に並び，これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[イ]$である．
(2)$N$を$2$以上の整数とする．$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$l$となる場合の数を$g(l)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(l,\ g(l))$は，直線$x=[ウ]$に関して対称な$2$直線上に並び，これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[エ]$である．
(3)$N$を$2$以上の整数とする．$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個と，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$2N$までの数字が$1$つずつ書かれた青球が$2N$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$m$となる場合の数を$h(m)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(m,\ h(m))$が並ぶ直線の方程式は以下のようになる．


\qquad \; \!\!$2 \leqq m \leqq [オ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[カ]$
$[オ] \leqq m \leqq [キ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[ク]$
$[キ] \leqq m \leqq [ケ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[コ]$


これらの$3$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[サ]$である．

関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフにおいて，$y$座標の値が最大となる点を$\mathrm{A}$，変曲点を$\mathrm{B}$とし，点$\mathrm{B}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．

(1)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求め，関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および関数$y=xe^{-x}$のグラフの点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$までの部分で囲まれた図形の面積$S_1$を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
(3)$S_1$と三角形$\mathrm{OBC}$の面積$S_2$の大小を比較せよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2}-2 |x-1|+2$について，次の各問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$-4 \leqq x \leqq 2$のときの$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$で囲まれた$3$つの部分の面積の和を求めよ．

図のように辺の長さが$a$と$b$である長方形があり，$ab=1$とする．この長方形の四隅から，一辺の長さが$\displaystyle c \left( 0<c<\frac{1}{2} \right)$の正方形を切り取り，残った部分を組み立ててできる直方体の容器の容積を$V$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\displaystyle 0<c<\frac{1}{2}$を満たす$c$に対して，$a$と$b$が変化するとき，$a$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(2)容積$V$を$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$V$を最大にする$a$の値と，そのときの$V$の値を$c$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$V$の値を$c$の関数として$M(c)$で表す．このとき，$M(c)$を最大にする$c$の値と，そのときの$M(c)$の値を求めよ．

\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
図のように放物線
\[ C:y=\frac{1}{2}x^2+ax+b \]
（$a,\ b$は定数）が$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=x^2-4x+5 \]
に接している．

ここで，$2$つの曲線が交点$\mathrm{P}$で接するとは，$\mathrm{P}$における接線が一致することを意味し，このとき，$\mathrm{P}$を接点という．
このとき，$C$と$C_1$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$][$46$]}$，$C$と$C_2$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$である．また，$3$つの放物線に囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$51$][$52$]}{[$53$][$54$]}$である．

\end{mawarikomi}

$xy$平面上の$2$つの曲線

$C_1:y=e^x-2$
$C_2:y=\log x$

について以下の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数であり，$e$は自然対数の底とする．

(1)$s$を実数，$t$を正の数とする．$C_1$上の点$(s,\ e^s-2)$における$C_1$の接線の方程式，および$C_2$上の点$(t,\ \log t)$における$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は$2$本存在する．それぞれの直線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$の$2$直線それぞれの$C_2$との接点の座標を求めよ．
(4)$(2)$の$2$直線の交点の$x$座標を求めよ．
(5)$C_2$と$(2)$の$2$直線で囲まれた部分の面積を求めよ．