「部分」について
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(10ページ目:全894問中91問~100問を表示)![名城大学](./img/univ/meijou.png)
$f(x)=e^{-x} \sin x,\ g(x)=e^{-x} \cos x$とするとき,次の各問に答えよ.
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)すべての$x$について,$f^\prime(x)=af(x+b)$が成り立つような定数$a,\ b$を求めよ.ただし,$0 \leqq b \leqq \pi$とする.
(3)$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{5\pi}{4}$において,曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ.
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)すべての$x$について,$f^\prime(x)=af(x+b)$が成り立つような定数$a,\ b$を求めよ.ただし,$0 \leqq b \leqq \pi$とする.
(3)$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{5\pi}{4}$において,曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ.
![名城大学](./img/univ/meijou.png)
次の$[ ]$を埋めよ.
(1)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$のとき,$x^2+y^2=[ア]$,$x^2-y^2=[イ]$である.
(2)関数$y=-2x^2+6x-5 (0 \leqq x \leqq 2)$の最大値は$[ウ]$,最小値は$[エ]$である.
(3)円$C_1:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と点$\mathrm{A}(3,\ 0)$の中点$\mathrm{Q}$の座標は$[オ]$である.これより,$\mathrm{P}$が$C_1$上をもれなく動くとき,$\mathrm{Q}$の描く軌跡は円であり,その方程式は$[カ]$である.
(4)放物線$C_2:y=x^2-2x$と直線$\ell:y=x$がある.$C_2$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり,$C_2$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である.
(1)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$のとき,$x^2+y^2=[ア]$,$x^2-y^2=[イ]$である.
(2)関数$y=-2x^2+6x-5 (0 \leqq x \leqq 2)$の最大値は$[ウ]$,最小値は$[エ]$である.
(3)円$C_1:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と点$\mathrm{A}(3,\ 0)$の中点$\mathrm{Q}$の座標は$[オ]$である.これより,$\mathrm{P}$が$C_1$上をもれなく動くとき,$\mathrm{Q}$の描く軌跡は円であり,その方程式は$[カ]$である.
(4)放物線$C_2:y=x^2-2x$と直線$\ell:y=x$がある.$C_2$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり,$C_2$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である.
![津田塾大学](./img/univ/tsudajuku.png)
次の問に答えよ.
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき,
\[ \sin \left( x+\frac{\pi}{3} \right)+\cos \left( x-\frac{\pi}{3} \right) \]
の最大値と最小値を求めよ.
(2)空間内の$2$点$(-2,\ 5,\ -1)$,$(2,\ 1,\ 3)$を通る直線の,$x \geqq 0$,$y \geqq 0$,$z \geqq 0$を同時に満たす部分の長さを求めよ.
(3)$\mathrm{TSUDAJUKU}$という単語に使われている$9$文字から$4$文字を選び順列を作る.$\mathrm{U}$という文字がちょうど$2$文字含まれる順列は何通りあるか.
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき,
\[ \sin \left( x+\frac{\pi}{3} \right)+\cos \left( x-\frac{\pi}{3} \right) \]
の最大値と最小値を求めよ.
(2)空間内の$2$点$(-2,\ 5,\ -1)$,$(2,\ 1,\ 3)$を通る直線の,$x \geqq 0$,$y \geqq 0$,$z \geqq 0$を同時に満たす部分の長さを求めよ.
(3)$\mathrm{TSUDAJUKU}$という単語に使われている$9$文字から$4$文字を選び順列を作る.$\mathrm{U}$という文字がちょうど$2$文字含まれる順列は何通りあるか.
![京都薬科大学](./img/univ/kyotoyakka.png)
次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ.
$3$次関数$y=f(x)=x^2(x-3)$で与えられる曲線を$C$とする.
(1)関数$y=f(x)$は,$x=[ア]$のとき極大値$[イ]$をとる.また,$x=[ウ]$のとき極小値$[エ]$をとる.
(2)点$(1,\ -2)$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式は$y=[オ]$である.
(3)$(1)$の$[ア]$から$[エ]$で表される$2$点$([ア],\ [イ])$,$([ウ],\ [エ])$が$2$次関数$y=x^2+px+q$で与えられる放物線$C^\prime$上にあるとき,$p=[カ]$,$q=[キ]$である.
(4)$(2)$で求めた接線$\ell$と$(3)$で求めた放物線$C^\prime$で囲まれた部分の面積は$[ク]$である.
$3$次関数$y=f(x)=x^2(x-3)$で与えられる曲線を$C$とする.
(1)関数$y=f(x)$は,$x=[ア]$のとき極大値$[イ]$をとる.また,$x=[ウ]$のとき極小値$[エ]$をとる.
(2)点$(1,\ -2)$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式は$y=[オ]$である.
(3)$(1)$の$[ア]$から$[エ]$で表される$2$点$([ア],\ [イ])$,$([ウ],\ [エ])$が$2$次関数$y=x^2+px+q$で与えられる放物線$C^\prime$上にあるとき,$p=[カ]$,$q=[キ]$である.
(4)$(2)$で求めた接線$\ell$と$(3)$で求めた放物線$C^\prime$で囲まれた部分の面積は$[ク]$である.
![京都薬科大学](./img/univ/kyotoyakka.png)
次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ.
(1)$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$6$個入った袋$\mathrm{A}$と,$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$6$個入った袋$\mathrm{B}$がある.それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し,それらの球に書かれた数の合計が$k$となる場合の数を$f(k)$で表す.このとき,$xy$平面上の点$(k,\ f(k))$は,直線$x=[ア]$に関して対称な$2$直線上に並び,これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[イ]$である.
(2)$N$を$2$以上の整数とする.$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と,$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{B}$がある.それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し,それらの球に書かれた数の合計が$l$となる場合の数を$g(l)$で表す.このとき,$xy$平面上の点$(l,\ g(l))$は,直線$x=[ウ]$に関して対称な$2$直線上に並び,これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[エ]$である.
(3)$N$を$2$以上の整数とする.$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個と,$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と,$1$から$2N$までの数字が$1$つずつ書かれた青球が$2N$個入った袋$\mathrm{B}$がある.それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し,それらの球に書かれた数の合計が$m$となる場合の数を$h(m)$で表す.このとき,$xy$平面上の点$(m,\ h(m))$が並ぶ直線の方程式は以下のようになる.
\qquad \; \!\!$2 \leqq m \leqq [オ]$の$(m,\ h(m))$について,$y=[カ]$
$[オ] \leqq m \leqq [キ]$の$(m,\ h(m))$について,$y=[ク]$
$[キ] \leqq m \leqq [ケ]$の$(m,\ h(m))$について,$y=[コ]$
これらの$3$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[サ]$である.
(1)$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$6$個入った袋$\mathrm{A}$と,$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$6$個入った袋$\mathrm{B}$がある.それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し,それらの球に書かれた数の合計が$k$となる場合の数を$f(k)$で表す.このとき,$xy$平面上の点$(k,\ f(k))$は,直線$x=[ア]$に関して対称な$2$直線上に並び,これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[イ]$である.
(2)$N$を$2$以上の整数とする.$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と,$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{B}$がある.それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し,それらの球に書かれた数の合計が$l$となる場合の数を$g(l)$で表す.このとき,$xy$平面上の点$(l,\ g(l))$は,直線$x=[ウ]$に関して対称な$2$直線上に並び,これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[エ]$である.
(3)$N$を$2$以上の整数とする.$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個と,$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と,$1$から$2N$までの数字が$1$つずつ書かれた青球が$2N$個入った袋$\mathrm{B}$がある.それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し,それらの球に書かれた数の合計が$m$となる場合の数を$h(m)$で表す.このとき,$xy$平面上の点$(m,\ h(m))$が並ぶ直線の方程式は以下のようになる.
\qquad \; \!\!$2 \leqq m \leqq [オ]$の$(m,\ h(m))$について,$y=[カ]$
$[オ] \leqq m \leqq [キ]$の$(m,\ h(m))$について,$y=[ク]$
$[キ] \leqq m \leqq [ケ]$の$(m,\ h(m))$について,$y=[コ]$
これらの$3$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[サ]$である.
![青山学院大学](./img/univ/aoyama.png)
関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフにおいて,$y$座標の値が最大となる点を$\mathrm{A}$,変曲点を$\mathrm{B}$とし,点$\mathrm{B}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする.
(1)点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の座標を求め,関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフをかけ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることを用いてよい.
(2)線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$および関数$y=xe^{-x}$のグラフの点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$までの部分で囲まれた図形の面積$S_1$を求めよ.ただし,$\mathrm{O}$は原点である.
(3)$S_1$と三角形$\mathrm{OBC}$の面積$S_2$の大小を比較せよ.
(1)点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の座標を求め,関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフをかけ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることを用いてよい.
(2)線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$および関数$y=xe^{-x}$のグラフの点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$までの部分で囲まれた図形の面積$S_1$を求めよ.ただし,$\mathrm{O}$は原点である.
(3)$S_1$と三角形$\mathrm{OBC}$の面積$S_2$の大小を比較せよ.
![名城大学](./img/univ/meijou.png)
関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2}-2 |x-1|+2$について,次の各問に答えよ.
(1)$y=f(x)$のグラフをかけ.
(2)$-4 \leqq x \leqq 2$のときの$f(x)$の最大値と最小値を求めよ.
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$で囲まれた$3$つの部分の面積の和を求めよ.
(1)$y=f(x)$のグラフをかけ.
(2)$-4 \leqq x \leqq 2$のときの$f(x)$の最大値と最小値を求めよ.
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$で囲まれた$3$つの部分の面積の和を求めよ.
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
図のように辺の長さが$a$と$b$である長方形があり,$ab=1$とする.この長方形の四隅から,一辺の長さが$\displaystyle c \left( 0<c<\frac{1}{2} \right)$の正方形を切り取り,残った部分を組み立ててできる直方体の容器の容積を$V$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(図は省略)
(1)$\displaystyle 0<c<\frac{1}{2}$を満たす$c$に対して,$a$と$b$が変化するとき,$a$の値の範囲を$c$を用いて表せ.
(2)容積$V$を$a$と$c$を用いて表せ.
(3)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき,$V$を最大にする$a$の値と,そのときの$V$の値を$c$を用いて表せ.
(4)$(3)$で求めた$V$の値を$c$の関数として$M(c)$で表す.このとき,$M(c)$を最大にする$c$の値と,そのときの$M(c)$の値を求めよ.
(図は省略)
(1)$\displaystyle 0<c<\frac{1}{2}$を満たす$c$に対して,$a$と$b$が変化するとき,$a$の値の範囲を$c$を用いて表せ.
(2)容積$V$を$a$と$c$を用いて表せ.
(3)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき,$V$を最大にする$a$の値と,そのときの$V$の値を$c$を用いて表せ.
(4)$(3)$で求めた$V$の値を$c$の関数として$M(c)$で表す.このとき,$M(c)$を最大にする$c$の値と,そのときの$M(c)$の値を求めよ.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
\begin{mawarikomi}{50mm}{
(図は省略)
}
図のように放物線
\[ C:y=\frac{1}{2}x^2+ax+b \]
($a,\ b$は定数)が$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=x^2-4x+5 \]
に接している.
ここで,$2$つの曲線が交点$\mathrm{P}$で接するとは,$\mathrm{P}$における接線が一致することを意味し,このとき,$\mathrm{P}$を接点という.
このとき,$C$と$C_1$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$][$46$]}$,$C$と$C_2$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$である.また,$3$つの放物線に囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$51$][$52$]}{[$53$][$54$]}$である.
\end{mawarikomi}
(図は省略)
}
図のように放物線
\[ C:y=\frac{1}{2}x^2+ax+b \]
($a,\ b$は定数)が$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=x^2-4x+5 \]
に接している.
ここで,$2$つの曲線が交点$\mathrm{P}$で接するとは,$\mathrm{P}$における接線が一致することを意味し,このとき,$\mathrm{P}$を接点という.
このとき,$C$と$C_1$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$][$46$]}$,$C$と$C_2$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$である.また,$3$つの放物線に囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$51$][$52$]}{[$53$][$54$]}$である.
\end{mawarikomi}
![京都産業大学](./img/univ/kyousan.png)
$xy$平面上の$2$つの曲線
$C_1:y=e^x-2$
$C_2:y=\log x$
について以下の問いに答えよ.ただし,$\log$は自然対数であり,$e$は自然対数の底とする.
(1)$s$を実数,$t$を正の数とする.$C_1$上の点$(s,\ e^s-2)$における$C_1$の接線の方程式,および$C_2$上の点$(t,\ \log t)$における$C_2$の接線の方程式を求めよ.
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は$2$本存在する.それぞれの直線の方程式を求めよ.
(3)$(2)$の$2$直線それぞれの$C_2$との接点の座標を求めよ.
(4)$(2)$の$2$直線の交点の$x$座標を求めよ.
(5)$C_2$と$(2)$の$2$直線で囲まれた部分の面積を求めよ.
$C_1:y=e^x-2$
$C_2:y=\log x$
について以下の問いに答えよ.ただし,$\log$は自然対数であり,$e$は自然対数の底とする.
(1)$s$を実数,$t$を正の数とする.$C_1$上の点$(s,\ e^s-2)$における$C_1$の接線の方程式,および$C_2$上の点$(t,\ \log t)$における$C_2$の接線の方程式を求めよ.
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は$2$本存在する.それぞれの直線の方程式を求めよ.
(3)$(2)$の$2$直線それぞれの$C_2$との接点の座標を求めよ.
(4)$(2)$の$2$直線の交点の$x$座標を求めよ.
(5)$C_2$と$(2)$の$2$直線で囲まれた部分の面積を求めよ.