次の各問に答えよ．

(1)ある教室に男子が$6$人，女子が$7$人いる．その中から$4$人を選んで班を$1$つ作るとき，次のような選び方はそれぞれ何通りあるか．

(i) 男子$2$人と女子$2$人を選ぶ．
(ii) 女子が少なくとも$1$人含まれる．

(2)$10$人を次のように分けるとき，分け方は何通りあるか．

(i) $2$人ずつ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$つの部屋に入れる．
(ii) $3$人，$3$人，$2$人，$2$人の$4$組に分ける．

以下の問いに答えなさい．

(1)赤，白，黒の玉がそれぞれ$3$個ずつあり，一列に並べるものとする．合計$9$個の玉の並べ方は何通りあるか求めなさい．なお，同じ色の玉は区別しないものとする．
(2)(1)の並べ方のうちで，先頭の$3$個の玉が同じ色であるか，末尾の$3$個の玉が同じ色であるか，少なくとも一方が成り立つ並べ方は何通りあるか求めなさい．
(3)空間において座標$(x,\ y,\ z)$にある点$\mathrm{P}$を$1$回の操作で$(x+1,\ y,\ z)$，$(x,\ y+1,\ z)$，$(x,\ y,\ z+1)$のいずれかを選んでその座標に移動させる．最初に$(0,\ 0,\ 0)$にある点$\mathrm{P}$を，$9$回の操作で$(3,\ 3,\ 3)$に移動させる選び方のうち，$(3,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 3,\ 0)$，$(0,\ 0,\ 3)$，$(3,\ 3,\ 0)$，$(3,\ 0,\ 3)$，$(0,\ 3,\ 3)$のいずれも経由しないものは何通りあるか求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 6x^2-xy-12y^2 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい．
\[ x^2-x-1=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい．
\[ 3x-1 \leqq x \leqq 2x+1 \]
(4)$\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}},\ y=\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$のとき，次の式の値を求めなさい．

(i) $x+y,\ xy$
(ii) $3x^2-5xy+3y^2$

(5)男子$6$人，女子$4$人から$4$人の代表を選ぶとき，次のような選び方は何通りありますか．

(i) 男子$2$人，女子$2$人を選ぶ
(ii) 特定の$2$人$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が必ず選ばれる

(6)袋の中に白球$5$個，赤球$3$個が入っている．この袋から同時に$3$個の球を取り出すとき，白球が$2$個，赤球が$1$個出る確率を求めなさい．

$1$から$9$の数字がそれぞれ書かれた$9$枚のカードから，$\mathrm{A}$グループとして$3$枚，$\mathrm{B}$グループとして$4$枚のカードを選ぶ．次の問いに答えよ．

(1)このような選び方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$グループの数字がすべて$4$以下になる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$グループの最大数が$\mathrm{B}$グループの最小数より小さい場合の得点を$\mathrm{A}$グループの数字の和とし，そうでない場合は得点を$0$とする．得点の期待値を求めよ．