「選び方」について
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私立 早稲田大学 2016年 第4問$3$点$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を頂点とする三角形を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{D}$の$1$辺を選び，その中点を中心として$\mathrm{D}$を${180}^\circ$回転させる．このようにして$\mathrm{D}$から得られる$3$個の三角形からなる集合を$S_1$とする．$S_1$から一つ三角形を選び，さらにその三角形の$1$辺を選び，その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる．このようにして$S_1$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_2$とする．$S_2$は$7$個の三角形からなる集合であり，その中には$\mathrm{D}$も含まれる．一般に，自然数$n$に対して$S_n$まで定義されたとき，$S_n$から一つ三角形を選び，さらにその三角形の$1$辺を選び，その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる．このようにして$S_n$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_{n+1}$とする．次の問に答えよ．
(1)$S_3$の要素を全て図示せよ．
(2)$m$を自然数とする．$S_{2m}$から一つ三角形を選び，その頂点それぞれと原点$(0,\ 0)$との距離の最大値を考える．三角形の選び方をすべて考えたときの，この最大値の最大値$d_{2m}$を求めよ．
(1)$S_3$の要素を全て図示せよ．
(2)$m$を自然数とする．$S_{2m}$から一つ三角形を選び，その頂点それぞれと原点$(0,\ 0)$との距離の最大値を考える．三角形の選び方をすべて考えたときの，この最大値の最大値$d_{2m}$を求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第1問以下の問に答えよ．
(1)それぞれ在庫が$3$個以上ある$5$種類の商品の中から，$3$個の商品を選ぶ選び方は$[ア]$通りである．
(2)$3$つの引き出し$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．
引き出し$\mathrm{A}$には商品「メガネ」が$3$個と商品「サングラス」が$2$個，引き出し$\mathrm{B}$には商品「メガネ」が$2$個と商品「サングラス」が$5$個入っている．引き出し$\mathrm{C}$には何も入っていない．
いま引き出し$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$から，それぞれ$1$個ずつ無作為に商品を取り出し，引き出し$\mathrm{C}$に入れた．
その後，引き出し$\mathrm{C}$から無作為に取り出した商品が「メガネ」であったとき，この商品が引き出し$\mathrm{A}$から取り出されたものである確率は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(1)それぞれ在庫が$3$個以上ある$5$種類の商品の中から，$3$個の商品を選ぶ選び方は$[ア]$通りである．
(2)$3$つの引き出し$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．
引き出し$\mathrm{A}$には商品「メガネ」が$3$個と商品「サングラス」が$2$個，引き出し$\mathrm{B}$には商品「メガネ」が$2$個と商品「サングラス」が$5$個入っている．引き出し$\mathrm{C}$には何も入っていない．
いま引き出し$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$から，それぞれ$1$個ずつ無作為に商品を取り出し，引き出し$\mathrm{C}$に入れた．
その後，引き出し$\mathrm{C}$から無作為に取り出した商品が「メガネ」であったとき，この商品が引き出し$\mathrm{A}$から取り出されたものである確率は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．
私立 早稲田大学 2016年 第1問以下の問に答えよ．
(1)それぞれ在庫が$3$個以上ある$5$種類の商品の中から，$3$個の商品を選ぶ選び方は$[ア]$通りである．
(2)$3$つの引き出し$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．
引き出し$\mathrm{A}$には商品「メガネ」が$3$個と商品「サングラス」が$2$個，引き出し$\mathrm{B}$には商品「メガネ」が$2$個と商品「サングラス」が$5$個入っている．引き出し$\mathrm{C}$には何も入っていない．
いま引き出し$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$から，それぞれ$1$個ずつ無作為に商品を取り出し，引き出し$\mathrm{C}$に入れた．
その後，引き出し$\mathrm{C}$から無作為に取り出した商品が「メガネ」であったとき，この商品が引き出し$\mathrm{A}$から取り出されたものである確率は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(1)それぞれ在庫が$3$個以上ある$5$種類の商品の中から，$3$個の商品を選ぶ選び方は$[ア]$通りである．
(2)$3$つの引き出し$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．
引き出し$\mathrm{A}$には商品「メガネ」が$3$個と商品「サングラス」が$2$個，引き出し$\mathrm{B}$には商品「メガネ」が$2$個と商品「サングラス」が$5$個入っている．引き出し$\mathrm{C}$には何も入っていない．
いま引き出し$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$から，それぞれ$1$個ずつ無作為に商品を取り出し，引き出し$\mathrm{C}$に入れた．
その後，引き出し$\mathrm{C}$から無作為に取り出した商品が「メガネ」であったとき，この商品が引き出し$\mathrm{A}$から取り出されたものである確率は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．
私立 天使大学 2016年 第4問図のような道路のある町を考える．各区画は正方形で，ある交差点から別の交差点への移動は必ず最短距離を進むこととする．また交差点で$2$通りの進み方がある場合，選び方の確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$2$人が，それぞれ$\mathrm{A}$地点，$\mathrm{B}$地点を同時に出発し，それぞれ$\mathrm{B}$地点，$\mathrm{A}$地点へと同じ速さで向かう．次の問いに答えなさい．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで行く道順は$\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}$通りある．
(2)$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで行く道順で，$\mathrm{C}$地点を通る道順は$\mkakko{$\mathrm{c}$} \mkakko{$\mathrm{d}$}$通りある．
また$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで行く道順で，$\mathrm{C}$地点を通る確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{e}$}}{\mkakko{$\mathrm{f}$}}$である．
(3)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$\mathrm{C}$地点で出会う確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{g}$}}{\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$}}$である．
(4)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$\mathrm{C}$地点を含め途中で出会う確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$}}{\mkakko{$\mathrm{l}$} \mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}}$である．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで行く道順は$\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}$通りある．
(2)$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで行く道順で，$\mathrm{C}$地点を通る道順は$\mkakko{$\mathrm{c}$} \mkakko{$\mathrm{d}$}$通りある．
また$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで行く道順で，$\mathrm{C}$地点を通る確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{e}$}}{\mkakko{$\mathrm{f}$}}$である．
(3)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$\mathrm{C}$地点で出会う確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{g}$}}{\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$}}$である．
(4)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$\mathrm{C}$地点を含め途中で出会う確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$}}{\mkakko{$\mathrm{l}$} \mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}}$である．
私立 北里大学 2015年 第4問自然数$2520$の正の約数の個数は$[ケ]$である．次に，自然数$2520$について，$2520=ABC$となる$3$つの自然数$A,\ B,\ C$の選び方を考える．$3$つの自然数がすべて偶数であるような選び方は$[コ]$通りある．また，$3$つの自然数がすべて$20$以下であるような選び方は$[サ]$通りある．
私立 旭川大学 2015年 第3問次の設問に答えよ．
(1)数字$1$～$5$を書いたカードが$1$枚ずつある．この中から$3$枚取って並べ，$3$ケタの整数を作るとき，整数はいくつできるか．
(2)男子$5$人，女子$4$人の中から$3$人の代表を選ぶとき，少なくとも女子$1$人を含む選び方は何通りあるか．
(3)学生$60$人のうち女子が$25 \, \%$である．女子が$30 \, \%$になるためには，男子を何人減らすべきか．
(4)$100$人が$100$個のパンを食べるが，大人は$1$人$3$個，子供は$3$人$1$個であった．大人，子供はそれぞれ何人か．
(1)数字$1$～$5$を書いたカードが$1$枚ずつある．この中から$3$枚取って並べ，$3$ケタの整数を作るとき，整数はいくつできるか．
(2)男子$5$人，女子$4$人の中から$3$人の代表を選ぶとき，少なくとも女子$1$人を含む選び方は何通りあるか．
(3)学生$60$人のうち女子が$25 \, \%$である．女子が$30 \, \%$になるためには，男子を何人減らすべきか．
(4)$100$人が$100$個のパンを食べるが，大人は$1$人$3$個，子供は$3$人$1$個であった．大人，子供はそれぞれ何人か．
私立 上智大学 2015年 第2問赤いカードと青いカードが$10$枚ずつあり，それぞれ$0$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれている．これら$20$枚から数枚を選ぶときの選び方に関する次の条件$P$を考える．
$P$：選んだカードのうち，赤いカードに書かれた数字はすべて偶数である．
(1)$P$であるための必要十分条件を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，$Z$をマークせよ．
(2)$P$の否定を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，$Z$をマークせよ．
選択肢：
\mon[$\mathrm{A}$] 選んだカードのうち，青いカードに書かれた数字はすべて奇数である．
\mon[$\mathrm{B}$] 選んだカードのうち，奇数が書かれたカードはすべて青い．
\mon[$\mathrm{C}$] 選んだカードのうち，偶数が書かれたカードはすべて赤い．
\mon[$\mathrm{D}$] 選んだカードのうちに，偶数が書かれた青いカードが存在する．
\mon[$\mathrm{E}$] 選んだカードのうちに，奇数が書かれた赤いカードが存在する．
\mon[$\mathrm{F}$] 選んだカードのうちに，偶数が書かれた青いカードは存在しない．
\mon[$\mathrm{G}$] 選んだカードのうちに，奇数が書かれた赤いカードは存在しない．
$P$：選んだカードのうち，赤いカードに書かれた数字はすべて偶数である．
(1)$P$であるための必要十分条件を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，$Z$をマークせよ．
(2)$P$の否定を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，$Z$をマークせよ．
選択肢：
\mon[$\mathrm{A}$] 選んだカードのうち，青いカードに書かれた数字はすべて奇数である．
\mon[$\mathrm{B}$] 選んだカードのうち，奇数が書かれたカードはすべて青い．
\mon[$\mathrm{C}$] 選んだカードのうち，偶数が書かれたカードはすべて赤い．
\mon[$\mathrm{D}$] 選んだカードのうちに，偶数が書かれた青いカードが存在する．
\mon[$\mathrm{E}$] 選んだカードのうちに，奇数が書かれた赤いカードが存在する．
\mon[$\mathrm{F}$] 選んだカードのうちに，偶数が書かれた青いカードは存在しない．
\mon[$\mathrm{G}$] 選んだカードのうちに，奇数が書かれた赤いカードは存在しない．
私立 中部大学 2015年 第1問次の$[ア]$から$[ス]$にあてはまる数字または符号を入れよ．
(1)$2$次関数$y=x^2-4x+3$のグラフは，$y=x^2+2x+5$のグラフを$x$軸方向に$[ア]$，$y$軸方向に$[イ][ウ]$平行移動したものである．
(2)$1$から$8$までの自然数の中から異なる$4$個の数を選ぶとき，最大数が$7$以下となるような選び方は$[エ][オ]$通りあり，最大数が$7$となるような選び方は$[カ][キ]$通りある．
(3)方程式$(\log_3 2)(\log_4 \sqrt{x})=\log_x 3$の解は，$\displaystyle x=\frac{[ク]}{[ケ]},\ [コ]$である．
(4)実数$x,\ y$が$3x^2+2y^2=6x$を満たすとき，$x^2+2y^2$の最大値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，最小値は$[ス]$である．
(1)$2$次関数$y=x^2-4x+3$のグラフは，$y=x^2+2x+5$のグラフを$x$軸方向に$[ア]$，$y$軸方向に$[イ][ウ]$平行移動したものである．
(2)$1$から$8$までの自然数の中から異なる$4$個の数を選ぶとき，最大数が$7$以下となるような選び方は$[エ][オ]$通りあり，最大数が$7$となるような選び方は$[カ][キ]$通りある．
(3)方程式$(\log_3 2)(\log_4 \sqrt{x})=\log_x 3$の解は，$\displaystyle x=\frac{[ク]}{[ケ]},\ [コ]$である．
(4)実数$x,\ y$が$3x^2+2y^2=6x$を満たすとき，$x^2+2y^2$の最大値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，最小値は$[ス]$である．
私立 京都産業大学 2015年 第1問以下の$[ ]$にあてはまる式または数値を記入せよ．
(1)$8x^3-27y^3$を因数分解すると$[ア]$である．
(2)関数$f(x)=x^2-4x+5 (-1 \leqq x \leqq 3)$の最大値は$[イ]$，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{3+i}{1-2i}$を$a+bi$の形にすると，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(4)不等式$\log_3 (1-x) \leqq \log_{\frac{1}{3}} (2x+1)$を満たす$x$の値の範囲は$[カ]$である．
(5)日曜日から土曜日までのうち$3$つの曜日を選び，毎週それらの曜日に出勤することとする．出勤する曜日の選び方は全部で$[キ]$通りある．また，$2$日は連続して出勤するが，$3$日は連続して出勤しないような曜日の選び方は$[ク]$通りある．
(1)$8x^3-27y^3$を因数分解すると$[ア]$である．
(2)関数$f(x)=x^2-4x+5 (-1 \leqq x \leqq 3)$の最大値は$[イ]$，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{3+i}{1-2i}$を$a+bi$の形にすると，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(4)不等式$\log_3 (1-x) \leqq \log_{\frac{1}{3}} (2x+1)$を満たす$x$の値の範囲は$[カ]$である．
(5)日曜日から土曜日までのうち$3$つの曜日を選び，毎週それらの曜日に出勤することとする．出勤する曜日の選び方は全部で$[キ]$通りある．また，$2$日は連続して出勤するが，$3$日は連続して出勤しないような曜日の選び方は$[ク]$通りある．
国立 横浜国立大学 2014年 第4問平面上に半径$1$と半径$2$の同心円$C_1$と$C_2$がある．自然数$n$に対して，$C_2$の周を$3n$等分する$3n$個の点がある．この$3n$個の点の中から異なる$3$点を選ぶとき，次の$(*)$をみたす選び方の総数を$a_k (k=0,\ 1,\ 2,\ 3)$とする．
$(*)$ 選んだ$3$点を頂点とする三角形の辺のうち，ちょうど$k$個が$C_1$の周と共有点をもつ．
次の問いに答えよ．
(1)$n=2$のとき，$a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$を$n$の式で表せ．
$(*)$ 選んだ$3$点を頂点とする三角形の辺のうち，ちょうど$k$個が$C_1$の周と共有点をもつ．
次の問いに答えよ．
(1)$n=2$のとき，$a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$を$n$の式で表せ．