「適用」について
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公立 宮城大学 2013年 第3問次の空欄$[ナ]$から$[ヘ]$にあてはまる数や式を書きなさい．
ゆがんだサイコロがあり，各々の目の出る確率は下記の確率分布表の通りである．
確率分布表 \quad
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
目 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
確率 & $\displaystyle\frac{1}{9}$ & $\displaystyle\frac{4}{45}$ & $p$ & $q$ & $\displaystyle\frac{1}{35}$ & $r$ \\ \hline
\end{tabular}
また，このサイコロを$6$回投げたとき，次のような$2$つのデータ$(ⅰ)$，$(ⅱ)$が残った．
データ$(ⅰ) \cdots 4$回目に投げたとき$2$度目の$3$の目になる確率が$\displaystyle \frac{4}{27}$であった．
データ$(ⅱ) \cdots$出る目の期待値が$\displaystyle \frac{1153}{315}$であった．
このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$\displaystyle \frac{1}{35}<\frac{4}{45}<\frac{1}{9}<q<r<p<\frac{2}{3}$とする．
まず，確率分布表から，$p+q+r=[ナ] \cdots\cdots ①$である．
次に，データ$(ⅰ)$は$3$の目が$3$回目までに既に$1$回だけ出ていることを示すから，
\[ [ニ]=\frac{4}{27} \]
となる．
これより，次の$2$次方程式が得られる．
\[ [ヌ]=0 \]
条件より，$\displaystyle p<\frac{2}{3}$だから，$p=[ネ]$である．すると$①$から，
\[ q+r=[ノ] \cdots\cdots② \]
となる．
データ$(ⅱ)$から，期待値の式を$p,\ q,\ r$を用いて表せば，
\[ [ハ]=\frac{1153}{315} \]
である．
ゆえに，$p=[ネ]$を適用して，
\[ 2q+3r=[ヒ] \cdots\cdots③ \]
となる．$②$と$③$を連立して，$q=[フ]$，$r=[ヘ]$を得る．
ゆがんだサイコロがあり，各々の目の出る確率は下記の確率分布表の通りである．
確率分布表 \quad
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
目 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
確率 & $\displaystyle\frac{1}{9}$ & $\displaystyle\frac{4}{45}$ & $p$ & $q$ & $\displaystyle\frac{1}{35}$ & $r$ \\ \hline
\end{tabular}
また，このサイコロを$6$回投げたとき，次のような$2$つのデータ$(ⅰ)$，$(ⅱ)$が残った．
データ$(ⅰ) \cdots 4$回目に投げたとき$2$度目の$3$の目になる確率が$\displaystyle \frac{4}{27}$であった．
データ$(ⅱ) \cdots$出る目の期待値が$\displaystyle \frac{1153}{315}$であった．
このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$\displaystyle \frac{1}{35}<\frac{4}{45}<\frac{1}{9}<q<r<p<\frac{2}{3}$とする．
まず，確率分布表から，$p+q+r=[ナ] \cdots\cdots ①$である．
次に，データ$(ⅰ)$は$3$の目が$3$回目までに既に$1$回だけ出ていることを示すから，
\[ [ニ]=\frac{4}{27} \]
となる．
これより，次の$2$次方程式が得られる．
\[ [ヌ]=0 \]
条件より，$\displaystyle p<\frac{2}{3}$だから，$p=[ネ]$である．すると$①$から，
\[ q+r=[ノ] \cdots\cdots② \]
となる．
データ$(ⅱ)$から，期待値の式を$p,\ q,\ r$を用いて表せば，
\[ [ハ]=\frac{1153}{315} \]
である．
ゆえに，$p=[ネ]$を適用して，
\[ 2q+3r=[ヒ] \cdots\cdots③ \]
となる．$②$と$③$を連立して，$q=[フ]$，$r=[ヘ]$を得る．
私立 東京理科大学 2012年 第3問数直線上に動点$\mathrm{P}$がある．$1$個のさいころを投げるという試行により$\mathrm{P}$を次の規則にしたがって，数直線上を移動させる．
$(\mathrm{A})$ 出た目の数が偶数であったら負の方向に$1$だけ移動させる．
$(\mathrm{B})$ 出た目の数が$1$であったら$0$だけ移動させる（その点にとどまる）．
$(\mathrm{C})$ $(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$以外であったら正の方向に$2$だけ移動させる．
最初動点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．
(1)試行を$4$回くり返したとき，規則$(\mathrm{A})$が$a$回，規則$(\mathrm{B})$が$b$回適用されたとすると，$a+b$のとりうる値の範囲は$[ア]$以上$[イ]$以下の整数全体であり，これを満たす$a,\ b$の組合わせは全部で$[ウ][エ]$通りである．
$a=1,\ b=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$であり，そのときの$\mathrm{P}$の座標の値は$[キ]$である．また，$a=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)試行を$4$回くり返したとき，$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある確率は$\displaystyle \frac{[コ][サ][シ]}{\kakkofour{ス}{セ}{ソ}{タ}}$である．
(3)試行を$1$回だけ行ったときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり，試行を$4$回くり返したときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．
$(\mathrm{A})$ 出た目の数が偶数であったら負の方向に$1$だけ移動させる．
$(\mathrm{B})$ 出た目の数が$1$であったら$0$だけ移動させる（その点にとどまる）．
$(\mathrm{C})$ $(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$以外であったら正の方向に$2$だけ移動させる．
最初動点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．
(1)試行を$4$回くり返したとき，規則$(\mathrm{A})$が$a$回，規則$(\mathrm{B})$が$b$回適用されたとすると，$a+b$のとりうる値の範囲は$[ア]$以上$[イ]$以下の整数全体であり，これを満たす$a,\ b$の組合わせは全部で$[ウ][エ]$通りである．
$a=1,\ b=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$であり，そのときの$\mathrm{P}$の座標の値は$[キ]$である．また，$a=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)試行を$4$回くり返したとき，$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある確率は$\displaystyle \frac{[コ][サ][シ]}{\kakkofour{ス}{セ}{ソ}{タ}}$である．
(3)試行を$1$回だけ行ったときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり，試行を$4$回くり返したときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．
国立 奈良教育大学 2011年 第2問自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$と置く．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^{n-1} x)(\sin x)^\prime \, dx$と書きなおし，部分積分を適用して$I_n$と$I_{n-2}$の関係式を求めよ．但し$n \geqq 3$とする．
(2)$I_5$を求めよ．
(1)$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^{n-1} x)(\sin x)^\prime \, dx$と書きなおし，部分積分を適用して$I_n$と$I_{n-2}$の関係式を求めよ．但し$n \geqq 3$とする．
(2)$I_5$を求めよ．
国立 宮城教育大学 2010年 第2問4辺の長さが$\mathrm{AB}=a,\ \mathrm{BC}=b,\ \mathrm{CD}=c,\ \mathrm{DA}=d$である四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接している．$\mathrm{AC}=x,\ \mathrm{BD}=y$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{CDA}$に余弦定理を適用して，$x$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．また$y$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(2)$xy$を$a,\ b,\ c,\ d$で表すと，$xy=ac+bd$となる．このことを(1)を用いて示せ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{CDA}$に余弦定理を適用して，$x$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．また$y$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(2)$xy$を$a,\ b,\ c,\ d$で表すと，$xy=ac+bd$となる．このことを(1)を用いて示せ．