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宮城大学 公立 宮城大学 2013年 第3問
次の空欄$[ナ]$から$[ヘ]$にあてはまる数や式を書きなさい.

ゆがんだサイコロがあり,各々の目の出る確率は下記の確率分布表の通りである.

確率分布表 \quad
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
目 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
確率 & $\displaystyle\frac{1}{9}$ & $\displaystyle\frac{4}{45}$ & $p$ & $q$ & $\displaystyle\frac{1}{35}$ & $r$ \\ \hline
\end{tabular}

また,このサイコロを$6$回投げたとき,次のような$2$つのデータ$(ⅰ)$,$(ⅱ)$が残った.
データ$(ⅰ) \cdots 4$回目に投げたとき$2$度目の$3$の目になる確率が$\displaystyle \frac{4}{27}$であった.
データ$(ⅱ) \cdots$出る目の期待値が$\displaystyle \frac{1153}{315}$であった.
このとき,以下の問いに答えなさい.ただし,$\displaystyle \frac{1}{35}<\frac{4}{45}<\frac{1}{9}<q<r<p<\frac{2}{3}$とする.
まず,確率分布表から,$p+q+r=[ナ] \cdots\cdots ①$である.
次に,データ$(ⅰ)$は$3$の目が$3$回目までに既に$1$回だけ出ていることを示すから,
\[ [ニ]=\frac{4}{27} \]
となる.
これより,次の$2$次方程式が得られる.
\[ [ヌ]=0 \]
条件より,$\displaystyle p<\frac{2}{3}$だから,$p=[ネ]$である.すると$①$から,
\[ q+r=[ノ] \cdots\cdots② \]
となる.
データ$(ⅱ)$から,期待値の式を$p,\ q,\ r$を用いて表せば,
\[ [ハ]=\frac{1153}{315} \]
である.
ゆえに,$p=[ネ]$を適用して,
\[ 2q+3r=[ヒ] \cdots\cdots③ \]
となる.$②$と$③$を連立して,$q=[フ]$,$r=[ヘ]$を得る.
東京理科大学 私立 東京理科大学 2012年 第3問
数直線上に動点$\mathrm{P}$がある.$1$個のさいころを投げるという試行により$\mathrm{P}$を次の規則にしたがって,数直線上を移動させる.

$(\mathrm{A})$ 出た目の数が偶数であったら負の方向に$1$だけ移動させる.
$(\mathrm{B})$ 出た目の数が$1$であったら$0$だけ移動させる(その点にとどまる).
$(\mathrm{C})$ $(\mathrm{A})$,$(\mathrm{B})$以外であったら正の方向に$2$だけ移動させる.

最初動点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする.

(1)試行を$4$回くり返したとき,規則$(\mathrm{A})$が$a$回,規則$(\mathrm{B})$が$b$回適用されたとすると,$a+b$のとりうる値の範囲は$[ア]$以上$[イ]$以下の整数全体であり,これを満たす$a,\ b$の組合わせは全部で$[ウ][エ]$通りである.
$a=1,\ b=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$であり,そのときの$\mathrm{P}$の座標の値は$[キ]$である.また,$a=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である.
(2)試行を$4$回くり返したとき,$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある確率は$\displaystyle \frac{[コ][サ][シ]}{\kakkofour{ス}{セ}{ソ}{タ}}$である.
(3)試行を$1$回だけ行ったときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり,試行を$4$回くり返したときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である.
奈良教育大学 国立 奈良教育大学 2011年 第2問
自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$と置く.このとき,以下の設問に答えよ.

(1)$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^{n-1} x)(\sin x)^\prime \, dx$と書きなおし,部分積分を適用して$I_n$と$I_{n-2}$の関係式を求めよ.但し$n \geqq 3$とする.
(2)$I_5$を求めよ.
宮城教育大学 国立 宮城教育大学 2010年 第2問
4辺の長さが$\mathrm{AB}=a,\ \mathrm{BC}=b,\ \mathrm{CD}=c,\ \mathrm{DA}=d$である四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接している.$\mathrm{AC}=x,\ \mathrm{BD}=y$とおくとき,次の問いに答えよ.

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{CDA}$に余弦定理を適用して,$x$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ.また$y$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ.
(2)$xy$を$a,\ b,\ c,\ d$で表すと,$xy=ac+bd$となる.このことを(1)を用いて示せ.
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「適用」とは・・・

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