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私立 慶應義塾大学 2014年 第2問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．
(1)座標平面上に曲線$C_1:y=x^2-1$がある．$x$軸に関して$C_1$に対称な曲線を$C_2$とすると，$C_2$を表す方程式は$[ケ]$である．
$0 \leqq a \leqq 1$とするとき，$-a \leqq x \leqq a$において，曲線$C_2$と直線$y=a^2-1$，および$2$直線$x=-a$，$x=a$で囲まれた図形の面積$S(a)$は，
\[ S(a)=[コ] \]
となる．$S(a)$は，$a=[サ]$のとき最大値$[シ]$をとる．
(2)関数$f(x)=8^x-6 \cdot 4^x+5 \cdot 2^x$を考える．$f(x)=-12$を満たす実数$x$をすべて求めると，$x=[ス]$となる．また，方程式$f(x)=k$が$3$つの実数解をもつような定数$k$の値の範囲は，$[セ]<k<[ソ]$である．
(1)座標平面上に曲線$C_1:y=x^2-1$がある．$x$軸に関して$C_1$に対称な曲線を$C_2$とすると，$C_2$を表す方程式は$[ケ]$である．
$0 \leqq a \leqq 1$とするとき，$-a \leqq x \leqq a$において，曲線$C_2$と直線$y=a^2-1$，および$2$直線$x=-a$，$x=a$で囲まれた図形の面積$S(a)$は，
\[ S(a)=[コ] \]
となる．$S(a)$は，$a=[サ]$のとき最大値$[シ]$をとる．
(2)関数$f(x)=8^x-6 \cdot 4^x+5 \cdot 2^x$を考える．$f(x)=-12$を満たす実数$x$をすべて求めると，$x=[ス]$となる．また，方程式$f(x)=k$が$3$つの実数解をもつような定数$k$の値の範囲は，$[セ]<k<[ソ]$である．
私立 慶應義塾大学 2014年 第3問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．
それぞれ$\mathrm{K}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$という文字の書かれた$4$枚のカードがある．その中から無作為に$1$枚のカードを取り出し，文字を確認してからカードを元に戻すことを$4$回繰り返す．
(1)$1$回目と$2$回目に取り出すカードの文字が異なる確率は$[タ]$である．
(2)$3$回目までに取り出すカードの文字がすべて異なる確率は$[チ]$である．
(3)$4$回目までに，$\mathrm{K}$と書かれたカードを$2$回，$\mathrm{O}$と書かれたカードを$2$回取り出す確率は$[ツ]$である．
(4)$4$回目までに取り出すカードの文字が$2$種類である確率は$[テ]$である．
(5)$4$回目までに取り出したカードの文字が$X$種類であるとするとき，$X$の期待値は$[ト]$である．
それぞれ$\mathrm{K}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$という文字の書かれた$4$枚のカードがある．その中から無作為に$1$枚のカードを取り出し，文字を確認してからカードを元に戻すことを$4$回繰り返す．
(1)$1$回目と$2$回目に取り出すカードの文字が異なる確率は$[タ]$である．
(2)$3$回目までに取り出すカードの文字がすべて異なる確率は$[チ]$である．
(3)$4$回目までに，$\mathrm{K}$と書かれたカードを$2$回，$\mathrm{O}$と書かれたカードを$2$回取り出す確率は$[ツ]$である．
(4)$4$回目までに取り出すカードの文字が$2$種類である確率は$[テ]$である．
(5)$4$回目までに取り出したカードの文字が$X$種類であるとするとき，$X$の期待値は$[ト]$である．
私立 愛知工業大学 2014年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc$を因数分解すると$[ア]$となる．
(2)自然数$n$をいくつかの$1$と$2$の和で表すときの表し方の総数を$a(n)$とする．ただし，和の順序を変えた表し方は同じ表し方とする．例えば，$4=2+2$，$4=2+1+1$，$4=1+1+1+1$であるから，$a(4)=3$である．このとき，$a(9)=[イ]$，$a(2014)=[ウ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}$であるとき，$a_n=[エ]$，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}=[オ]$である．
(4)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\sin \theta+\cos \theta=t$とすると，$t$のとりうる値の範囲は$[カ] \leqq t \leqq [キ]$であり，$\sin \theta+\cos \theta+2 \sin 2\theta$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．
(5)$\log_2 64=[コ]$である．また，$x$を$1$でない正の数とするとき，$\log_4 x^2-\log_x 64 \leqq 1$をみたす$x$の範囲は$[サ]$である．
(6)$f(x)=\sin 2x$とするとき，$f^\prime(x)=[シ]$である．また，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 2x \cos 2x \, dx=[ス]$である．
(1)$ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc$を因数分解すると$[ア]$となる．
(2)自然数$n$をいくつかの$1$と$2$の和で表すときの表し方の総数を$a(n)$とする．ただし，和の順序を変えた表し方は同じ表し方とする．例えば，$4=2+2$，$4=2+1+1$，$4=1+1+1+1$であるから，$a(4)=3$である．このとき，$a(9)=[イ]$，$a(2014)=[ウ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}$であるとき，$a_n=[エ]$，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}=[オ]$である．
(4)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\sin \theta+\cos \theta=t$とすると，$t$のとりうる値の範囲は$[カ] \leqq t \leqq [キ]$であり，$\sin \theta+\cos \theta+2 \sin 2\theta$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．
(5)$\log_2 64=[コ]$である．また，$x$を$1$でない正の数とするとき，$\log_4 x^2-\log_x 64 \leqq 1$をみたす$x$の範囲は$[サ]$である．
(6)$f(x)=\sin 2x$とするとき，$f^\prime(x)=[シ]$である．また，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 2x \cos 2x \, dx=[ス]$である．
私立 神奈川大学 2014年 第1問次の空欄$(\mathrm{a})$～$(\mathrm{g})$を適当に補え．
(1)$2$次方程式$x^2-2x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は，なす角が${60}^\circ$で，$|\overrightarrow{a}|=2 |\overrightarrow{b}|$である．$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が垂直であるとき，$t$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a^x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \frac{a^{3x}-a^{-3x}}{a^x-a^{-x}}$の値は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)円$x^2+y^2-2x-4y-4=0$上の点$\mathrm{A}$と，円$x^2+y^2-12x-14y+81=0$上の点$\mathrm{B}$について，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の距離の最小値は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$6$枚のコインを同時に投げるとき，ちょうど$3$枚のコインが表になる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)定数$a,\ b$に対して，$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{x^2-b}{x-a}=6$が成り立つとする．このとき，$a=[($\mathrm{f])$}$，$b=[$(\mathrm{g])$}$である．
(1)$2$次方程式$x^2-2x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は，なす角が${60}^\circ$で，$|\overrightarrow{a}|=2 |\overrightarrow{b}|$である．$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が垂直であるとき，$t$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a^x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \frac{a^{3x}-a^{-3x}}{a^x-a^{-x}}$の値は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)円$x^2+y^2-2x-4y-4=0$上の点$\mathrm{A}$と，円$x^2+y^2-12x-14y+81=0$上の点$\mathrm{B}$について，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の距離の最小値は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$6$枚のコインを同時に投げるとき，ちょうど$3$枚のコインが表になる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)定数$a,\ b$に対して，$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{x^2-b}{x-a}=6$が成り立つとする．このとき，$a=[($\mathrm{f])$}$，$b=[$(\mathrm{g])$}$である．
私立 杏林大学 2014年 第1問$[シ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．
$n$を$100$以下の自然数とし，$n$の約数の個数を$f(n)$，空集合を$\phi$とする．
(1)$f(48)=[アイ]$であり，$f(n)=9$を満たす最小の自然数は$n=[ウエ]$である．$f(n)=5$を満たす$n$の個数は$[オ]$個であり，$f(n)=6$を満たす$n$の個数は$[カキ]$個である．
(2)$f(n)$の最大値は$[クケ]$である．したがって，$f(f(n))>4$を満たす最小の自然数は$n=[コサ]$となる．
(3)$f(n)=2$を満たす$100$以下の自然数$n$の集合を$A$，$100$以下の素数の集合を$B$とすると，$[シ]$が成り立つ．
$[シ]$の解答群
\mon[$①$] $A \in B$
\mon[$②$] $B \in A$
\mon[$③$] $A=B$
\mon[$④$] $A \subset B$かつ$A \neq B$
\mon[$⑤$] $B \subset A$かつ$A \neq B$
\mon[$⑥$] $A \cap B=\phi$
\mon[$④chi$] $A \cap B \neq \phi$かつ$A \neq A \cup B \neq B$
$n$を$100$以下の自然数とし，$n$の約数の個数を$f(n)$，空集合を$\phi$とする．
(1)$f(48)=[アイ]$であり，$f(n)=9$を満たす最小の自然数は$n=[ウエ]$である．$f(n)=5$を満たす$n$の個数は$[オ]$個であり，$f(n)=6$を満たす$n$の個数は$[カキ]$個である．
(2)$f(n)$の最大値は$[クケ]$である．したがって，$f(f(n))>4$を満たす最小の自然数は$n=[コサ]$となる．
(3)$f(n)=2$を満たす$100$以下の自然数$n$の集合を$A$，$100$以下の素数の集合を$B$とすると，$[シ]$が成り立つ．
$[シ]$の解答群
\mon[$①$] $A \in B$
\mon[$②$] $B \in A$
\mon[$③$] $A=B$
\mon[$④$] $A \subset B$かつ$A \neq B$
\mon[$⑤$] $B \subset A$かつ$A \neq B$
\mon[$⑥$] $A \cap B=\phi$
\mon[$④chi$] $A \cap B \neq \phi$かつ$A \neq A \cup B \neq B$
私立 杏林大学 2014年 第2問$[ツ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．
区間$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{2}{3} \pi$を定義域とする関数$f(\theta)=2 \sin^2 \theta+4 \sin \theta \cos \theta+4 \cos^2 \theta$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(\theta)$は次の形に変形できる．
\[ f(\theta)=\sqrt{[ア]} \sin (2\theta+\alpha)+[イ] \]
ただし，$\alpha$は$\displaystyle \tan \alpha=\frac{[ウ]}{[エ]}$を満たし，$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{[オ]}-[カ]$が成り立つ．
(2)$f(\theta)$は，$\displaystyle \theta=\frac{[キ]}{[ク]} \pi$のとき最小値$\displaystyle [ケ] \sqrt{[コ]}+\frac{[サ]}{[シ]}$をとり，
\[ \tan \theta=\frac{\sqrt{[ス]}-[セ]}{[ソ]} \]
を満たす$\theta$において最大値$\sqrt{[タ]}+[チ]$をとる．
(3)$k$を正の定数とすると，方程式$\displaystyle x^2+xy+\frac{1}{2}y^2=k$で表される図形は$[ツ]$である．この曲線と，
\[ x^2+y^2=4,\quad -1 \leqq x \leqq \sqrt{3},\quad y>0 \]
で表わされる弧が接するように$k$を定めると，$2$つの曲線の共通接線の傾きは$\displaystyle \frac{-\sqrt{[テ]}-[ト]}{[ナ]}$となる．
$[ツ]$の解答群
\[ ① \text{円} \qquad ② \text{放物線} \qquad ③ \text{楕円} \qquad ④ \text{双曲線} \]
区間$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{2}{3} \pi$を定義域とする関数$f(\theta)=2 \sin^2 \theta+4 \sin \theta \cos \theta+4 \cos^2 \theta$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(\theta)$は次の形に変形できる．
\[ f(\theta)=\sqrt{[ア]} \sin (2\theta+\alpha)+[イ] \]
ただし，$\alpha$は$\displaystyle \tan \alpha=\frac{[ウ]}{[エ]}$を満たし，$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{[オ]}-[カ]$が成り立つ．
(2)$f(\theta)$は，$\displaystyle \theta=\frac{[キ]}{[ク]} \pi$のとき最小値$\displaystyle [ケ] \sqrt{[コ]}+\frac{[サ]}{[シ]}$をとり，
\[ \tan \theta=\frac{\sqrt{[ス]}-[セ]}{[ソ]} \]
を満たす$\theta$において最大値$\sqrt{[タ]}+[チ]$をとる．
(3)$k$を正の定数とすると，方程式$\displaystyle x^2+xy+\frac{1}{2}y^2=k$で表される図形は$[ツ]$である．この曲線と，
\[ x^2+y^2=4,\quad -1 \leqq x \leqq \sqrt{3},\quad y>0 \]
で表わされる弧が接するように$k$を定めると，$2$つの曲線の共通接線の傾きは$\displaystyle \frac{-\sqrt{[テ]}-[ト]}{[ナ]}$となる．
$[ツ]$の解答群
\[ ① \text{円} \qquad ② \text{放物線} \qquad ③ \text{楕円} \qquad ④ \text{双曲線} \]
私立 杏林大学 2014年 第3問$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．
$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がそれぞれ$x$軸，$y$軸，$z$軸上にあり，原点$\mathrm{O}$を頂点に持つ$3$つの三角形$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OCA}$の面積の比が$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$となっている．三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面を$\alpha$とする．
(1)平面$\alpha$上にある点$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表わすと，$s+t+u=[ア]$が成り立つ．
(2)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{D}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表わされる．
直線$\mathrm{OD}$と平面$\alpha$の交点$\mathrm{G}$は，線分$\mathrm{OD}$を$[ク]:1$に内分する．点$\mathrm{G}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ケ]$である．
(3)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \]
点$\mathrm{D}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[タ]}{[チ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ツ]}{[テ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ト]}{[ナ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
が成り立つ．
点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{EH}$を$1:[ニ]$に内分する．
点$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ヌ]$であり，点$\mathrm{E}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ネ]$である．
$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答群
\mon[$①$] 重心
\mon[$②$] 内心
\mon[$③$] 外心
\mon[$④$] 垂心
\mon[$⑤$] 三辺の中点を通る円の中心
\mon[$⑥$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における外角の二等分線の交点
\mon[$④chi$] 頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
\mon[$\maruhachi$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がそれぞれ$x$軸，$y$軸，$z$軸上にあり，原点$\mathrm{O}$を頂点に持つ$3$つの三角形$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OCA}$の面積の比が$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$となっている．三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面を$\alpha$とする．
(1)平面$\alpha$上にある点$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表わすと，$s+t+u=[ア]$が成り立つ．
(2)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{D}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表わされる．
直線$\mathrm{OD}$と平面$\alpha$の交点$\mathrm{G}$は，線分$\mathrm{OD}$を$[ク]:1$に内分する．点$\mathrm{G}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ケ]$である．
(3)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \]
点$\mathrm{D}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[タ]}{[チ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ツ]}{[テ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ト]}{[ナ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
が成り立つ．
点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{EH}$を$1:[ニ]$に内分する．
点$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ヌ]$であり，点$\mathrm{E}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ネ]$である．
$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答群
\mon[$①$] 重心
\mon[$②$] 内心
\mon[$③$] 外心
\mon[$④$] 垂心
\mon[$⑤$] 三辺の中点を通る円の中心
\mon[$⑥$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における外角の二等分線の交点
\mon[$④chi$] 頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
\mon[$\maruhachi$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
公立 横浜市立大学 2014年 第4問$n$を$4$以上の整数とする．$1$番から$n$番までの番号がふられたボールが$1$つずつある．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)以下のような操作でボールを$1$列に並べる：
(i) $1$番のボールを適当な位置におく．
(ii) $2$番のボールを$1$番のボールの左または右に同じ確率でおく．
(iii) $3$番のボールをすでに並んでいる$2$つのボールの左または間または右に同じ確率でおく．
\mon[$\tokeishi$] 以下$n$番まで番号順に，$k$番のボールを，すでに並んでいるボールの一番左または間または一番右に同じ確率でおく，ことを繰り返す．
例えば，左から$2$番，$1$番，$3$番のボールが並んでいるとき，$4$番のボールが$2$番と$1$番の間におかれる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．
$n$番のボールをおき終えたとき，$i$番のボールが左から$j$番目に並ぶ確率は$\displaystyle \frac{1}{n}$であることを証明せよ．ただし，$i$と$j$は$1$以上，$n$以下の整数とする．
(2)$(1)$のボールの列を，（左から）番号順に並び替えるため，以下の操作を考える：
隣り合った$2$つのボールの組で，左のボールの番号が右のそれより大きなもの（入れ替え可能な組と呼ぶ）が存在するとき，そのようなボールの組を$1$つ選び，入れ替える．
入れ替え可能な組が複数あった場合に，入れ替える組をどのように選んだとしても，この操作を繰り返すことにより，すべてのボールの列は，必ず番号順の列になることを証明せよ．
(3)$(2)$の操作の回数は，入れ替える組の選び方とは無関係であることを証明せよ．
(4)$(2)$においてボールの列を番号順に並べ替えるとき，$i$番のボールを，より番号の小さいボールと入れ替える回数の期待値を$E_i$とする．このとき，
\[ \sum_{i=1}^n E_i \]
を求めよ．
(1)以下のような操作でボールを$1$列に並べる：
(i) $1$番のボールを適当な位置におく．
(ii) $2$番のボールを$1$番のボールの左または右に同じ確率でおく．
(iii) $3$番のボールをすでに並んでいる$2$つのボールの左または間または右に同じ確率でおく．
\mon[$\tokeishi$] 以下$n$番まで番号順に，$k$番のボールを，すでに並んでいるボールの一番左または間または一番右に同じ確率でおく，ことを繰り返す．
例えば，左から$2$番，$1$番，$3$番のボールが並んでいるとき，$4$番のボールが$2$番と$1$番の間におかれる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．
$n$番のボールをおき終えたとき，$i$番のボールが左から$j$番目に並ぶ確率は$\displaystyle \frac{1}{n}$であることを証明せよ．ただし，$i$と$j$は$1$以上，$n$以下の整数とする．
(2)$(1)$のボールの列を，（左から）番号順に並び替えるため，以下の操作を考える：
隣り合った$2$つのボールの組で，左のボールの番号が右のそれより大きなもの（入れ替え可能な組と呼ぶ）が存在するとき，そのようなボールの組を$1$つ選び，入れ替える．
入れ替え可能な組が複数あった場合に，入れ替える組をどのように選んだとしても，この操作を繰り返すことにより，すべてのボールの列は，必ず番号順の列になることを証明せよ．
(3)$(2)$の操作の回数は，入れ替える組の選び方とは無関係であることを証明せよ．
(4)$(2)$においてボールの列を番号順に並べ替えるとき，$i$番のボールを，より番号の小さいボールと入れ替える回数の期待値を$E_i$とする．このとき，
\[ \sum_{i=1}^n E_i \]
を求めよ．
国立 小樽商科大学 2013年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補いなさい．
(1)実数$x,\ y$が$2x+y=\sqrt{2013}$を満たすとき，$xy$の最大値を求めると$[ ]$．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=[ ]$．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\sin^3 x+\cos^3 x$の最大値$M$と最小値$m$を$t=\sin x+\cos x$とおいて求めると$(M,\ m)=[ ]$．
(1)実数$x,\ y$が$2x+y=\sqrt{2013}$を満たすとき，$xy$の最大値を求めると$[ ]$．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=[ ]$．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\sin^3 x+\cos^3 x$の最大値$M$と最小値$m$を$t=\sin x+\cos x$とおいて求めると$(M,\ m)=[ ]$．
国立 小樽商科大学 2013年 第3問次の$[ ]$の中を適当に補いなさい．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(x,\ 1)$について，$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$が垂直になるように，実数$x$を定めると$x=[ ]$．
(2)青玉$10$個，黄玉$10$個，黒玉$10$個，緑玉$10$個，赤玉$10$個の合計$50$個が入った壺がある．最初に$1$個とり出して，見ずに箱にしまっておく．その後，壺から$1$個ずつ玉を戻さずに$3$回とり出したら，$3$個とも赤玉であった．箱にしまっておいた玉が赤玉である確率は$[ ]$．
(3)曲線$y=-x(x-2)$と$x$軸で囲まれた面積を，直線$y=(-a+2)x$が$2$等分するとき，定数$a$を定めると$a=[ ]$．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(x,\ 1)$について，$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$が垂直になるように，実数$x$を定めると$x=[ ]$．
(2)青玉$10$個，黄玉$10$個，黒玉$10$個，緑玉$10$個，赤玉$10$個の合計$50$個が入った壺がある．最初に$1$個とり出して，見ずに箱にしまっておく．その後，壺から$1$個ずつ玉を戻さずに$3$回とり出したら，$3$個とも赤玉であった．箱にしまっておいた玉が赤玉である確率は$[ ]$．
(3)曲線$y=-x(x-2)$と$x$軸で囲まれた面積を，直線$y=(-a+2)x$が$2$等分するとき，定数$a$を定めると$a=[ ]$．