以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．また設問$(3)$に答えなさい．

時間$t$とともに座標平面上を動く点$\mathrm{P}(t)$は次の条件$(ⅰ)$をみたすとする．

(i) $\mathrm{P}(t)$は原点をとおらず，その偏角$\theta(t)$および原点からの距離$r(t)$は$t$について微分可能，かつ$r(0)=1$であり，さらに$\theta^\prime(t)=1$が成り立つ．



(1)動点$\mathrm{P}(t)$の座標を$(x(t),\ y(t))$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}(t)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}(t)=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$とベクトル$\overrightarrow{b}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))$のなす角を$\alpha (t)$とする．このとき$\cos \alpha (t)$を$r(t)$を用いて表すと$\cos \alpha (t)=[あ]$である．
(2)動点$\mathrm{P}(t)$がさらに次の条件$(ⅱ)$をみたすとする．

(ii) すべての$t$に対して$\displaystyle \alpha (t)=\frac{\pi}{4}$である．

このとき$r(t)=[い]$である．
(3)条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$をみたす$2$つの動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$の間に次の条件$(ⅲ)$が成り立つとする．ただし動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$それぞれの偏角を$\theta_1(t)$，$\theta_2(t)$，原点からの距離を$r_1(t)$，$r_2(t)$とし，速度ベクトルを$\overrightarrow{v_1}(t)$，$\overrightarrow{v_2}(t)$とする．

(iii) すべての$t$に対してベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)$とベクトル$\overrightarrow{v_2}(t)$は垂直である．

このとき時刻$s$から$u$の間に動点$\mathrm{P}_2(t)$がその軌道に沿って動く道のりを$l(s,\ u)$とすると
\[ l(s,\ u)=|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(u) \mathrm{P}_2(u)}}-|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(s) \mathrm{P}_2(s)}} \]
が成り立つことを示しなさい．ただし$s<u$とする．

$a>1$，$b>0$，$c>0$，$f(t)=a^{-bt}$とする．点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$が，時刻$t$の関数として$x=f(t) \cos t$，$y=f(t) \sin t$のように表されるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(t)$を$t$について微分せよ．
(2)$t=0$から$t=c$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$l$を$a,\ b,\ c$で表せ．
(3)$(2)$の$l$について，$\displaystyle L=\lim_{c \to \infty} l$を$a,\ b$で表せ．
(4)$t=0$から$t=d$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のりが，$(3)$で求めた$L$の$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとする．$a=2$，$b=5$であるとき$d$を求めよ．

$L$を正定数とする．座標平面の$x$軸上の正の部分にある点P$(t,\ 0)$に対し，原点Oを中心とし点Pを通る円周上を，Pから出発して反時計回りに道のり$L$だけ進んだ点をQ$(u(t),\ v(t))$と表す．

(1)$u(t),\ v(t)$を求めよ．
(2)$0<a<1$の範囲の実数$a$に対し，積分
\[ f(a) = \int_a^1 \sqrt{\{u^{\, \prime}(t)\}^2 + \{v^{\, \prime}(t)\}^2 } \, dt \]
を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{a \to +0}\frac{f(a)}{\log a}$を求めよ．

下の図のように，$xy$平面上に，$x$軸に平行な道，$y$軸に平行な道，直線$y=-x$に平行な道があるものとする．これらの道を通って，原点Oから点A$(4,\ 4)$まで行くとき，以下の各場合に道順の総数を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）



(1)最短経路で行く場合．
(2)点B$(2,\ 2.5)$を通らずに，最短経路で行く場合．
(3)点C$(-1,\ 2)$を通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．
(4)道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．
(5)$0 \leqq x \leqq 4,\ 0 \leqq y \leqq 4$の部分だけを通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．

下の図のように，$xy$平面上に，$x$軸に平行な道，$y$軸に平行な道，直線$y=-x$に平行な道があるものとする．これらの道を通って，原点Oから点A$(4,\ 4)$まで行くとき，以下の各場合に道順の総数を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）



(1)最短経路で行く場合．
(2)点B$(2,\ 2.5)$を通らずに，最短経路で行く場合．
(3)点C$(-1,\ 2)$を通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．
(4)道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．
(5)$0 \leqq x \leqq 4,\ 0 \leqq y \leqq 4$の部分だけを通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の動点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(x,\ y)$が，時刻$t$の関数として，$x=e^{-2t} \cos 2\pi t$，$y=e^{-2t} \sin 2\pi t$で表されている．

(1)点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$の大きさは，$|\overrightarrow{v}|=[　] \sqrt{[　]+\pi^2}e^{-2t}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \cos \alpha=\frac{[　]}{\sqrt{[　]+\pi^2}}$であり，これは時刻$t$によらない一定値である．
(3)$n$を自然数として，$t=n-1$から$t=n$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$S_n$は，
\[ S_n=\sqrt{[　]+\pi^2} \left( e^{[　]}-[　] \right) e^{-2n} \]
である．また，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sqrt{[　]+\pi^2}$である．
(4)$t=0$から$\displaystyle t=\frac{1}{4}$までの間に点$\mathrm{P}$がえがく曲線と，$x$軸，$y$軸とで囲まれる図形の面積$I$は，$\displaystyle I=\int_a^b y \, dx=\int_{\frac{1}{4}}^0 y \frac{dx}{dt} \, dt$で求められる．このとき$a=[　]$，$b=[　]$で，$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{4}} e^{-4t} \{ \sin [$*$] \pi t+\pi (1-\cos [$*$] \pi t) \} \, dt$である．