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明治大学 私立 明治大学 2016年 第3問
$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある.線分$\mathrm{AB}$を$p:(1-p) (0<p<1)$に内分する点を$\mathrm{D}$,線分$\mathrm{OC}$を$q:(1-q) (0<q<1)$に内分する点を$\mathrm{E}$とする.また,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ p,\ q$を用いて表し,次の空欄$[タ]$~$[ツ]$に$p,\ q$を用いた値や式を記せ.
\[ \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\left( [タ] \right) \overrightarrow{a}+\left( [チ] \right) \overrightarrow{b}+\left( [ツ] \right) \overrightarrow{c} \quad \cdots\cdots ① \]
(2)${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2$を求める過程を記した次の文章の空欄$[テ]$~$[ト]$に適切な値や式を記せ.
$\triangle \mathrm{OAB}$,$\triangle \mathrm{OBC}$,$\triangle \mathrm{OCA}$は,いずれも$1$辺の長さが$2$の正三角形だから,
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=2 \quad \cdots\cdots ② \]
かつ,
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=[テ] \quad \cdots\cdots ③ \]
$①,\ ②,\ ③$より,${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2$は$p,\ q$を用いて次のように表せる.
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2=4 \left( [ト] \right) \quad \cdots\cdots ④ \]
(3)点$\mathrm{D}$,点$\mathrm{E}$がそれぞれ$\mathrm{AB}$,$\mathrm{OC}$上を動くとき,${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}$の最小値を求める過程を記した次の文章の空欄$[ナ]$~$[ネ]$に適切な値や式を記せ.
$④$は次のように変形できる.
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2=4 \left\{ \left( p-[ナ] \right)^2+\left( q-[ニ] \right)^2+[ヌ] \right\} \quad \cdots\cdots ⑤ \]
$⑤$より,${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}$は$p=[ナ]$,$q=[ニ]$のとき最小値$[ネ]$をとる.
明治大学 私立 明治大学 2015年 第1問
次の$[ ]$に適する数を入れよ.

(1)製品$\mathrm{A}$は$3$つの部品$\mathrm{a}$,$\mathrm{b}$,$\mathrm{c}$から構成される.部品$\mathrm{a}$,$\mathrm{b}$,$\mathrm{c}$は,製造する過程において各々$\displaystyle \frac{1}{8}$の確率で低品質のものが発生する.製品$\mathrm{A}$に$2$つ以上の低品質の部品が含まれるとき,製品$\mathrm{A}$は不良品となる.製品$\mathrm{A}$を$1$つ製造するとき,それが不良品となる確率は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ][エ][オ]}$である.

(2)$a$を実数,$k$を正の実数として
\[ F(a)=\int_a^k (x^2-a^2) \, dx \]
とおく.関数$F(a)$の極値の差が$72$となるような$k$の値は$[カ]$である.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$は,$\mathrm{OA}=4$,$\mathrm{OB}=5$,$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$をみたすとする.$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし,この垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とする.このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[キ]}{[ク]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である.辺$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$,線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{F}$とする.このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ][チ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である.
秋田県立大学 公立 秋田県立大学 2014年 第1問
二つの関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める.
\[ \begin{array}{l}
f(x)=4x^2-8s(x+k)+s^4-s^2 \\
g(x)=8sx+s^4-4
\end{array} \]
ここで,$k$と$s$は実数の定数であり,$0<s \leqq 1$とする.また,$y=f(x)$のグラフは点$(0,\ s^4)$を通ることとする.以下の設問に答えよ.$(1)$は解答のみでよく,$(2)$~$(4)$は解答とともに導出過程も記述せよ.

(1)$k$を$s$で表せ.
(2)$f(x)$の最小値を$m$とする.$m$を$s$を用いて表せ.
(3)$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが少なくとも一つの共有点をもつような$s$の値の範囲を求めよ.
(4)$s$の値が$(3)$で得られた範囲にあるとき,$m$の最大値と最小値を求めよ.また,そのときの$s$の値を求めよ.
秋田県立大学 公立 秋田県立大学 2014年 第2問
$1$個のさいころを投げたとき,$3$以下の目が出れば赤い玉を$1$個,$4$あるいは$5$の目が出れば白い玉を$1$個,$6$の目が出れば黒い玉を$1$個得ることとする.さいころを$3$回投げて$3$個の玉を得る試行について,以下の設問に答えよ.$(1)$は解答のみでよく,$(2)$~$(5)$は解答とともに導出過程も記述せよ.

(1)赤い玉を$3$個得る確率を求めよ.
(2)赤い玉を$1$個,白い玉を$1$個,黒い玉を$1$個得る確率を求めよ.
(3)赤い玉を$2$個,白い玉を$1$個得る確率を求めよ.
(4)$2$種類の色の玉を得る確率を求めよ.
(5)得られる$3$個の玉の色の種類の数を$X$とするとき,$X$の期待値を求めよ.
秋田県立大学 公立 秋田県立大学 2014年 第4問
平面上に三つの異なる定点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$がある.線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする.また,同じ平面上に動点$\mathrm{P}$があり,$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{\pi}{2}$を満たす.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{m}$とする.以下の設問に答えよ.$(1)$は解答のみでよく,$(2)$,$(3)$は解答とともに導出過程も記述せよ.

(1)$\overrightarrow{m}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3)$|\overrightarrow{a}|=2$,$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{14}$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-6$が成り立つ.また,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$のなす角を$\alpha$,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$のなす角を$\beta$とする.ただし,$0 \leqq \alpha \leqq \pi$,$0 \leqq \beta \leqq \pi$とする.以下の設問$(ⅰ)$,$(ⅱ)$,$(ⅲ)$に答えよ.

(i) $\cos \alpha$の値を求めよ.
(ii) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積が最大となるときの$\beta$の値を求めよ.
(iii) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積の最大値を求めよ.
北九州市立大学 公立 北九州市立大学 2013年 第4問
行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について,以下の問いに答えよ.ただし,$E$と$O$はそれぞれ$2$次の単位行列と零行列である.答えを導く過程も示すこと.

(1)行列$A$に対して,等式$A^2-5A+5E=O$が成り立つことを示せ.
(2)行列$B$について,$B=A^4-3A^3-3A^2+2A+9E$のとき,行列$B$を求めよ.
(3)行列$A$の表す$1$次変換によって,直線$2x-y+1=0$上の点を移す.このとき,像を表す図形の方程式を求めよ.
秋田県立大学 公立 秋田県立大学 2013年 第1問
$2$次関数$f(x)=-x^2-2x+1$,$g(x)=-2x^2+px+q$について,以下の設問に答えよ.ただし,$g(1)=-2$,$g(-1)=0$であり,$p,\ q$は実数の定数とする.各設問とも,解答とともに導出過程も記述せよ.

(1)$p$と$q$の値を求めよ.
(2)$f(x)<g(x)$となる$x$の値の範囲を求めよ.
(3)$h(x)$を次のように定義する.

$f(x) \geqq g(x)$の場合は$h(x)=f(x)$
$f(x)<g(x)$の場合は$h(x)=g(x)$

次に,正の実数$k$に対して$M(k)$と$m(k)$を次のように定義する.

$M(k)$は$-k \leqq x \leqq k$における$h(x)$の最大値
$m(k)$は$-k \leqq x \leqq k$における$h(x)$の最小値
(i) $M(2)$と$m(2)$の値を求めよ.
(ii) $M(k)$と$m(k)$の値を$k$を用いて表せ.
秋田県立大学 公立 秋田県立大学 2013年 第2問
座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について,$x=4(1-2 \sin^2 \theta)$,$y=8 \sin \theta \cos \theta$とし,点$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円$C$を考える.以下の設問に答えよ.各設問とも,解答とともに導出過程も記述せよ.

(1)$\theta=0$の場合,原点$\mathrm{O}$から円$C$に$2$本の接線を引いたとき,この$2$本の接線のなす角を$\alpha$とする.ただし,$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする.このときの$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}$と$\tan \alpha$の値を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を$\sin 2\theta$または$\cos 2\theta$を用いて表せ.
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき,点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ.
(4)点$\mathrm{P}$が$(3)$で求められた軌跡をたどったとき,円$C$が通過してできた図形の面積を求めよ.
秋田県立大学 公立 秋田県立大学 2013年 第3問
$a$を正の定数とし,$f(x)=ae^{-ax}$とする.ただし,$e$を自然対数の底とする.原点を$\mathrm{O}$とし,曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(s,\ f(s))$における接線$\ell$と$x$軸,$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とするとき,以下の設問に答えよ.各設問とも,解答とともに導出過程も記述せよ.

(1)接線$\ell$の方程式と$2$点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における接線と$x$軸,および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とする.また,曲線$y=f(x)$と$x$軸,および$2$直線$x=1$,$x=t$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする.ただし,$t>1$とする.このとき,$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
(3)$s$の値が$s \geqq 0$の範囲で変化するとき,三角形$\mathrm{ROQ}$の面積$T(s)$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ.
秋田県立大学 公立 秋田県立大学 2013年 第4問
初項$6$,公差$3$の等差数列を$\{a_n\}$とし,$\{b_n\}$,$\{c_n\}$,$\{d_n\}$を一般項が次の式で定められる数列とする.

$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle c_n=\frac{1}{b_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle d_n=\sum_{k=1}^n c_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

このとき,以下の設問に答えよ.$(1)$は解答のみでよく,$(2)$~$(4)$は解答とともに導出過程も記述せよ.

(1)$a_n$を$n$を用いて表せ.
(2)$b_n$を$n$を用いて表せ.
(3)$c_n$は実数$s,\ t$を用いて$\displaystyle c_n=\frac{s}{n}+\frac{t}{n+3}$と表せる.$s,\ t$を求めよ.
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} d_n$を求めよ.
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