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早稲田大学 私立 早稲田大学 2012年 第2問
ある競技の大会に,チーム$1$,チーム$2$,チーム$3$,チーム$4$が参加している.大会は予選と決勝戦からなる.まず,抽選によって,図のように$2$チームずつに分かれて予選を行う.次に,各予選の勝者が決勝戦を行う.過去の対戦成績から次のことが分かっている.

チーム$i$とチーム$j$($1\leq i< j \leq 4$)が試合をするとき,確率$p$でチーム$j$が勝利し,確率$1-p$でチーム$i$が勝利する.ただし$0<p<1$である.

このとき,次の各問に答えよ.ただし,(1),(2),(3)は答のみ解答欄に記入せよ.

(1)チーム$1$が優勝する確率を求めよ.
(2)予選においてチーム$1$とチーム$2$が対戦する確率を求めよ.
(3)予選においてチーム$1$とチーム$2$が対戦するとき,チーム$2$が優勝する確率を求めよ.
(4)この大会においてチーム$2$が優勝する確率$f(p)$を求めよ.
(5)$f(p)$を最大にする$p$の値を求めよ.
(図は省略)
浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2010年 第4問
ある感染症の対策について考える.感染症の防御のためには感染拡大の試算が必要であり,感染拡大は自然にはその感染症の感染力と,致死性によって予測される.感染経路は,飛沫,接触,飲食などいろいろあり,感染力の制御,つまり感染を広げないために,ワクチン開発はもちろんであるが,外出規制(イベントの自粛や学級閉鎖など),手洗い呼びかけ,などが有効である. \\
ここでは簡単のために,$1$つの感染症のみを考え,ある一定の集団(たとえば$1000$人程度の島)を対象とし,外部との接触,出入りがないと仮定する.最初の時点での過去感染者,未感染者,現在感染者の割合をそれぞれ$x_0,\ y_0,\ z_0$とする.現在感染者は$1$か月後にはすべて過去感染者となり,一度感染した人はもう感染しない.また幸いなことにこの感染により死者は生じず,また簡単のために他要因による死者,あるいは出生,転入出もないとする. \\
$1$か月ごとの変動を見ることとし,$i$か月後の時点の上記の割合をそれぞれ$x_i,\ y_i,\ z_i$で示す.症状は丁度$1$か月続くので,一人の人が現在感染者として数えられるのは$1$回のみである. \\
過去感染者は,それまでの過去感染者に,$1$か月前の現在感染者を足したものである.また,現在感染者は,$1$か月前の未感染者と$1$か月前の現在感染者の接触頻度と,この感染症の感染力によって決まる.接触頻度の係数を$a$,感染力の係数を$b$とすると,現在感染者の割合は$1$か月前の現在感染者の割合,未感染者の割合,$a,\ b$の$4$つをかけたもので求められる. \\
$x_0=0$,$y_0=0.9$,$z_0=0.1$として,以下の問いに答えよ.計算は小数点以下第$4$位を四捨五入して求めよ.

(1)$x_i,\ y_i,\ z_i$を,$x_{i-1},\ y_{i-1},\ z_{i-1},\ a,\ b$で表せ.
(2)$a=1,\ b=1$として,$x_1,\ y_1,\ z_1,\ x_2,\ y_2,\ z_2,\ x_3,\ y_3,\ z_3$をそれぞれ求めよ.
(3)$a=1$,感染力の係数$b$を$2$とした時の$x_1,\ x_2,\ x_3$を求めよ.
(4)手洗いの徹底や外出規制が最初からなされたとして,$a=0.5$,$b=1$とした時の,$x_1,\ x_2,\ x_3$を求め,(2),(3)の結果と共に,縦軸を過去感染者の割合,横軸を時間として,$3$つの場合の変化を同一座標上にグラフで示せ.
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