「進法」について
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（2ページ目：全14問中11問～20問を表示）
私立 広島経済大学 2016年 第1問次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}$の分母を有理化すると，$\displaystyle \frac{[$1$]+\sqrt{[$2$]}-\sqrt{[$3$]}}{[$4$]}$となる．
(2)$4x^2+11xy+6y^2+18x+11y-10$を因数分解すると，
\[ (x+[$5$]y+[$6$])([$7$]x+[$8$]y-[$9$]) \]
となる．
(3)$2700$の正の約数の個数は$[$10$]$個である．
(4)次の問いに答えよ．
(i) $101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[$11$]$である．
(ii) $0.2101_{(3)}$を$10$進法で表すと$\displaystyle \frac{[$12$]}{[$13$]}$である．
(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}$の分母を有理化すると，$\displaystyle \frac{[$1$]+\sqrt{[$2$]}-\sqrt{[$3$]}}{[$4$]}$となる．
(2)$4x^2+11xy+6y^2+18x+11y-10$を因数分解すると，
\[ (x+[$5$]y+[$6$])([$7$]x+[$8$]y-[$9$]) \]
となる．
(3)$2700$の正の約数の個数は$[$10$]$個である．
(4)次の問いに答えよ．
(i) $101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[$11$]$である．
(ii) $0.2101_{(3)}$を$10$進法で表すと$\displaystyle \frac{[$12$]}{[$13$]}$である．
私立 名城大学 2016年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答えを記入せよ．
(1)$100$未満の自然数で，$3$または$4$または$5$で割り切れる数は$[ア]$個，$3$または$4$で割り切れ$5$では割り切れない数は$[イ]$個である．
(2)\begin{mawarikomi}{45mm}{
（図は省略）
}
右図において，点$\mathrm{I}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心，点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点とし，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=6$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$であり，$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}=[エ]$である．
\end{mawarikomi}
(3)整数$a$を$3$進数${122}_{(3)}$で割ったときの商と余りは，それぞれ${212}_{(3)}$と${102}_{(3)}$である．このとき，$a$を$3$進法で表すと${[オ]}_{(3)}$であり，$a$と$5$進数${410}_{(5)}$の和を$5$進法で表すと${[カ]}_{(5)}$である．
(4)不等式$2 |x-a|<x+1$について考える．$a=5$のとき，この不等式を満たす整数$x$は$[キ]$個である．また，この不等式を満たす整数$x$が$5$個あるとき，整数$a$の値は$[ク]$である．
(5)$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$で$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta=[ケ]$，$\cos 2\theta=[コ]$である．
(6)$a,\ b$は自然数で，$a^5 b^2$が$20$桁の数であり，かつ，$\displaystyle \frac{a^5}{b^2}$の整数部分が$10$桁であるとする．このとき，$a,\ b$の桁数をそれぞれ$m,\ n$とすると，$m=[サ]$，$n=[シ]$である．
(7)円$x^2+y^2-2(x+y)+1=0$と直線$y+2x=k$が共有点をもつとき，$k$の最大値は$[ス]$である．また，この円と直線$y=ax-3a$が共有点をもつとき，$a$の最小値は$[セ]$である．
(1)$100$未満の自然数で，$3$または$4$または$5$で割り切れる数は$[ア]$個，$3$または$4$で割り切れ$5$では割り切れない数は$[イ]$個である．
(2)\begin{mawarikomi}{45mm}{
（図は省略）
}
右図において，点$\mathrm{I}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心，点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点とし，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=6$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$であり，$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}=[エ]$である．
\end{mawarikomi}
(3)整数$a$を$3$進数${122}_{(3)}$で割ったときの商と余りは，それぞれ${212}_{(3)}$と${102}_{(3)}$である．このとき，$a$を$3$進法で表すと${[オ]}_{(3)}$であり，$a$と$5$進数${410}_{(5)}$の和を$5$進法で表すと${[カ]}_{(5)}$である．
(4)不等式$2 |x-a|<x+1$について考える．$a=5$のとき，この不等式を満たす整数$x$は$[キ]$個である．また，この不等式を満たす整数$x$が$5$個あるとき，整数$a$の値は$[ク]$である．
(5)$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$で$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta=[ケ]$，$\cos 2\theta=[コ]$である．
(6)$a,\ b$は自然数で，$a^5 b^2$が$20$桁の数であり，かつ，$\displaystyle \frac{a^5}{b^2}$の整数部分が$10$桁であるとする．このとき，$a,\ b$の桁数をそれぞれ$m,\ n$とすると，$m=[サ]$，$n=[シ]$である．
(7)円$x^2+y^2-2(x+y)+1=0$と直線$y+2x=k$が共有点をもつとき，$k$の最大値は$[ス]$である．また，この円と直線$y=ax-3a$が共有点をもつとき，$a$の最小値は$[セ]$である．
国立 東京大学 2013年 第5問次の命題$\mathrm{P}$を証明したい．
命題$\mathrm{P}$ \quad 次の$2$条件(a)，(b)をともに満たす自然数（$1$以上の整数）$A$が存在する．
(a) $A$は連続する$3$つの自然数の積である．
(b) $A$を$10$進法で表したとき，$1$が連続して$99$回以上現れるところがある．
以下の問いに答えよ．
(1)$y$を自然数とする．このとき不等式
\[ x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)<x^3+(3y+1)x^2 \]
が成り立つような正の実数$x$の範囲を求めよ．
(2)命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
命題$\mathrm{P}$ \quad 次の$2$条件(a)，(b)をともに満たす自然数（$1$以上の整数）$A$が存在する．
(a) $A$は連続する$3$つの自然数の積である．
(b) $A$を$10$進法で表したとき，$1$が連続して$99$回以上現れるところがある．
以下の問いに答えよ．
(1)$y$を自然数とする．このとき不等式
\[ x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)<x^3+(3y+1)x^2 \]
が成り立つような正の実数$x$の範囲を求めよ．
(2)命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
国立 京都大学 2011年 第5問$0$以上の整数を$10$進法で表すとき，次の問いに答えよ．ただし，$0$は$0$桁の数と考えることにする．また$n$は正の整数とする．
(1)各桁の数が$1$または$2$である$n$桁の整数を考える．それらすべての整数の総和を$T_n$とする．$T_n$を$n$を用いて表せ．
(2)各桁の数が$0,\ 1,\ 2$のいずれかである$n$桁以下の整数を考える．それらすべての総和$S_n$をとする．$S_n$が$T_n$の$15$倍以上になるのは，$n$がいくつ以上のときか．必要があれは，$0.301 < \log_{10}2< 0.302$および$0.477<\log_{10}3<0.478$を用いてもよい．
(1)各桁の数が$1$または$2$である$n$桁の整数を考える．それらすべての整数の総和を$T_n$とする．$T_n$を$n$を用いて表せ．
(2)各桁の数が$0,\ 1,\ 2$のいずれかである$n$桁以下の整数を考える．それらすべての総和$S_n$をとする．$S_n$が$T_n$の$15$倍以上になるのは，$n$がいくつ以上のときか．必要があれは，$0.301 < \log_{10}2< 0.302$および$0.477<\log_{10}3<0.478$を用いてもよい．