以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ．

(1)互いに異なる$6$個の薬品がある．この$6$個の薬品を$3$つのグループに分けたい．

$1$個，$2$個，$3$個に分ける方法は$[　]$通りである．
$1$個，$1$個，$4$個に分ける方法は$[　]$通りである．
$2$個，$2$個，$2$個に分ける方法は$[　]$通りである．

(2)$2012$を$2$つ以上のいくつかの連続した自然数の和で表したい．連続した自然数を$a,\ a+1,\ a+2,\ \cdots,\ a+n$と表したとき，その和$S$を$a$と$n$で表すと$S=[　]$である．また，この連続した自然数をすべてあげると$[　]$である．

次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同じ記号を$2$度以上用いてもよい．

$a$を$1$より大きい実数とする．$xy$平面において，$x$軸，$y$軸，直線$x=1$と曲線$y=a^x$で囲まれる部分の面積を近似的に計算したい．$n$を自然数とし，$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．また，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$f(x)>0$を満たす連続関数とする．

(1)$4$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$を頂点にもつ台形の面積を$M_k$とする．このとき$M_k=[キ]$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$S_n=M_1+M_2+\cdots +M_n$は$[ク]$となる．ここで，極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=[ケ]$を用いると，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=[コ]$と計算される．
(2)以下では，曲線$y=f(x)$は下に凸とする．
$3$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{2k-1}{2n},\ f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$を通る放物線を
\[ C_k:y=\alpha \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)^2+\beta \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)+\gamma \quad (\alpha,\ \beta,\ \gamma \text{は定数}) \]
とおく．$x$軸，直線$\displaystyle x=\frac{k-1}{n}$，直線$\displaystyle x=\frac{k}{n}$と放物線$C_k$で囲まれる部分の面積を$N_k$とおくとき，$N_k=[サ]$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$N_1+N_2+\cdots N_n$は$[シ]$となる．
\begin{itemize}
ケ，コの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua e^a \phantom{AA} & \marub e^{-a} \phantom{AA} & \maruc \displaystyle\frac{e^a}{a-1} \phantom{AA} & \marud (a-1)e^a \phantom{AA} & \marue (a-1)e^{-a} \\ \\
\maruf \log a & \marug \displaystyle\frac{1}{\log a} & \maruh \displaystyle\frac{\log a}{a-1} & \marui \displaystyle\frac{a-1}{\log a} & \maruj (a-1) \log a
\end{array} \]
キ，サの解答群

\mon[$\marua$] $\displaystyle \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

\mon[$\marub$] $\displaystyle \frac{1}{2n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

\mon[$\maruc$] $\displaystyle \frac{1}{3n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

\mon[$\marud$] $\displaystyle \frac{1}{4n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+2f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

\mon[$\marue$] $\displaystyle \frac{1}{5n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+3f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

\mon[$\maruf$] $\displaystyle \frac{1}{6n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+4f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

ク，シの解答群
\[ \begin{array}{ll}
\marua \displaystyle\frac{(a^n-1) \sqrt{a}}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marub \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{2n}}(a-1)}{n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\
\maruc \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marud \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\
\marue \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{2n(a-1)} & \maruf \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{2n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\
\marug \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruh \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{3n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\
\marui \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+2a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{4n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruj \displaystyle\frac{(a+3 \sqrt{a}+1)(a^n-1)}{5n(a-1)} \\ \\
\maruk \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+4a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{6n(a^\frac{1}{n}-1)} &
\end{array} \]
\end{itemize}

記号$(0,\ \infty)$は，正の実数全体からなる区間を表すものとする．$1$より大きい実数$r$と，区間$(0,\ \infty)$で連続な関数$f(x)$に対する，定積分
\[ \int_1^{r^2} f \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right) \frac{1}{x} \, dx \quad \text{と} \quad \int_1^{r^3} f \left( x+\frac{r^6}{x} \right) \frac{1}{x} \, dx \]
について考える．

(1)$r$を$1$より大きい実数とする．

(i) 定積分$\displaystyle \int_1^{r^2} \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right) \frac{1}{x} \, dx$と$\displaystyle \int_1^{r^3} \left( x+\frac{r^6}{x} \right) \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．
(ii) 定積分$\displaystyle \int_1^{r^2} \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right)^2 \frac{1}{x} \, dx$と$\displaystyle \int_1^{r^3} \left( x+\frac{r^6}{x} \right)^2 \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．

(2)次の問いに答えよ．

(i) $1$より大きいすべての実数$r$と区間$(0,\ \infty)$で連続なすべての関数$f(x)$に対して等式
\[ \int_1^{r^2} f \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right) \frac{1}{x} \, dx=a \int_1^{r^6} f \left( t+\frac{r^6}{t} \right) \frac{1}{t} \, dt \]
が成立するような，定数$a$の値を求めよ．
(ii) $1$より大きいすべての実数$r$と区間$(0,\ \infty)$で連続なすべての関数$f(x)$に対して等式
\[ \int_1^{r^3} f \left( x^3+\frac{r^6}{x} \right) \frac{1}{x} \, dx=b \int_{r^3}^{r^6} f \left( t+\frac{r^6}{t} \right) \frac{1}{t} \, dt \]
が成立するような，定数$b$の値を求めよ．
(iii) $1$より大きいすべての実数$r$と区間$(0,\ \infty)$で連続なすべての関数$f(x)$に対して等式
\[ \int_1^{r^2} f \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right) \frac{1}{x} \, dx=c \int_{1}^{r^3} f \left( x+\frac{r^6}{x} \right) \frac{1}{x} \, dx \]
が成立するような，定数$c$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の等式$\displaystyle \int_0^{2\pi} \sin t \cos (x-t) \, dt=a \sin x+ b \cos x$が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)連続な関数$f(x)$と0でない実数$\alpha$は$\displaystyle \int_0^{2\pi}f(t) \cos (x-t) \, dt=\alpha f(x)$を満たしている．$f(0)=f^\prime(0)=1$であるとき，$\alpha$と$f(x)$を求めよ．

$f(x)$を区間$[0,\ \infty )$上の連続関数とする．この区間上の$f(x)$の積分を
\[ \int_0^\infty f(x) \, dx=\lim_{R \to \infty} \int_0^R f(x) \, dx \]
とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$を正の定数として，積分$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+\alpha x)(1+\beta x)} \, dx$を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$を相異なる正の定数として，積分$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} \, dx$を（結果の表示を簡潔にするため）
\[ \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} \, dx=A \log a+B \log b+C \log c \]
とおく．$A,\ B,\ C$を求めよ．

$f(x)$は数直線上の連続関数で，次の条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$をみたすものとする．

$(ⅰ)$ $f(x)$は周期1の周期関数，すなわち，すべての$x$で$f(x+1)=f(x)$が成り立つ．
$(ⅱ)$ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=0$

次の各問いに答えよ．

(1)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$をみたす恒等的に$0$でない連続関数$f(x)$の例を$1$つ挙げよ．
(2)$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(y) \, dy$とおくと，$F(x)$も周期$1$の周期関数であることを示せ．
(3)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$\displaystyle \frac{d}{dx}F(nx)$を$f$を用いて表せ．
(4)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_0^1 xf(nx) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$を示せ．

連続関数$f(x)$に対して，
\[ g(x)=\int_0^x (f(t)+2) \sin (x-t) \, dt \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^x (t+2) \sin (x-t) \, dt$を求めよ．
(2)$\displaystyle g(x)=\sin x \int_0^x (f(t)+2) \cos t \, dt-\cos x \int_0^x (f(t)+2) \sin t \, dt$を示せ．
(3)関数$g(x)$の導関数$g^\prime(x)$は$\displaystyle g^\prime(x)=\int_0^x (f(t)+2) \cos (x-t) \, dt$となることを示せ．
(4)関数$g^\prime(x)$の導関数$g^{\prime\prime}(x)$は$g^{\prime\prime}(x)=f(x)-g(x)+2$となることを示せ．
(5)任意の実数$x$に対して$g(x)=f(x)$が成り立つとき，$f(x)$を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\cos x}-\tan x \left( 0 \leqq x <\frac{\pi}{2} \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$g(x)$を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$で連続で，$\displaystyle 0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$では$g(x)=f(x)$を満たす関数とする．

\mon[(a)] $\displaystyle g \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
\mon[(b)] $g(x)$の増加，減少を調べよ．
\mon[(c)] $\displaystyle \int_0^x g(t) \, dt$を求めよ．

(2)$n$を自然数とし，$c_n$を$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}-c_n}^{\frac{\pi}{2}}g(t) \, dt=\frac{1}{n} \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(t) \, dt$を満たす0と$\displaystyle \frac{\pi}{2}$の間の数とする．次の極限を求めよ．

\mon[(a)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(1-\cos c_n)$
\mon[(b)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sqrt{n}c_n$

$p,\ q$を実数の定数とする．$2$次方程式$x^2+px+q=0$は連続した$2$個の整数を解にもち，$2$次方程式$x^2+qx+p=0$は少なくとも$1$つの正の整数を解にもつ．このような定数$p,\ q$の組は$2$組あり，
\[ (p,\ q) = ([サ],\ [シ]),\ ([ス],\ [セ]) \]
である．ただし，$[サ]<[ス]$を満たすものとする．

$1$回投げて表が出る確率$p$，裏が出る確率$1-p$のコインが$1$枚ある．このコインを$1$日に$4$回投げる試行を$\mathrm{T}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)試行$\mathrm{T}$において，$2$回以上表が出る確率$A$を，$p$の多項式として降べきの順に表せ．
(2)試行$\mathrm{T}$を$5$日続ける試行を$\mathrm{S}$とする．

(3)試行$\mathrm{S}$において，$5$日間の中でちょうど$3$日だけ$1$日に$2$回以上表が出て，かつ，$2$日以上連続して$1$日に$2$回以上表が出る確率を，$A$を用いて表せ．
(4)試行$\mathrm{S}$において，$2$日以上連続して$1$日に$2$回以上表が出る確率を，$A$の多項式として降べきの順に表せ．