「連続」について
タグ「連続」の検索結果
（8ページ目：全114問中71問～80問を表示）
国立 鳥取大学 2012年 第4問連続な関数$f(x)$が以下の式を満たすとき，次の問いに答えよ．
\[ \int_a^x (x-t)f(t) \, dt=\cos (ax)-b \]
ただし$a,\ b$は定数で$0<a<2$とする．
(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3) $f(x)$が最大値を取るときの$x$の値を求めよ．
\[ \int_a^x (x-t)f(t) \, dt=\cos (ax)-b \]
ただし$a,\ b$は定数で$0<a<2$とする．
(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3) $f(x)$が最大値を取るときの$x$の値を求めよ．
国立 電気通信大学 2012年 第2問区間$0 \leqq x \leqq \pi$で連続な関数$f(x)$に対して，定積分
\[ I=\int_0^\pi \{t \sin x-f(x) \}^2 \, dx \quad (t \text{は実数}) \]
を考える．定数$c_1,\ c_2,\ c_3$を
\[ c_1=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx,\quad c_2=\int_0^\pi f(x) \sin x \, dx,\quad c_3=\int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$I$を，$t$および$c_1,\ c_2,\ c_3$を用いて表せ．
(2)$c_1$の値を求めよ． \\
以下では，$I$を最小にする$t$の値を$t_0$とし，その最小値を$I_0$とする．
(3)$t_0$を$c_2$を用いて表せ．また，$I_0$を$c_2,\ c_3$を用いて表せ．
(4)次の定積分$A,\ B$の値を求めよ．
\[ A=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad B=\int_0^\pi x \cos x \, dx \]
(5)$f(x)=x(\pi-x)$のとき，$c_2,\ c_3$および$I_0$の値をそれぞれ求めよ．
\[ I=\int_0^\pi \{t \sin x-f(x) \}^2 \, dx \quad (t \text{は実数}) \]
を考える．定数$c_1,\ c_2,\ c_3$を
\[ c_1=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx,\quad c_2=\int_0^\pi f(x) \sin x \, dx,\quad c_3=\int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$I$を，$t$および$c_1,\ c_2,\ c_3$を用いて表せ．
(2)$c_1$の値を求めよ． \\
以下では，$I$を最小にする$t$の値を$t_0$とし，その最小値を$I_0$とする．
(3)$t_0$を$c_2$を用いて表せ．また，$I_0$を$c_2,\ c_3$を用いて表せ．
(4)次の定積分$A,\ B$の値を求めよ．
\[ A=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad B=\int_0^\pi x \cos x \, dx \]
(5)$f(x)=x(\pi-x)$のとき，$c_2,\ c_3$および$I_0$の値をそれぞれ求めよ．
国立 宮城教育大学 2012年 第5問関数$f(x)$は微分可能で，導関数$f^\prime(x)$は連続であるとする．$p(x)=xe^{2x}$とおくとき，$f(x)$は
\[ \int_0^x f(t) \cos (x-t) \, dt=p(x) \]
を満たしている．このとき次の問いに答えよ．
(1)$f(0)=p^\prime(0)$を示せ．
(2)$f^\prime(x)=p(x)+p^{\prime\prime}(x)$を示せ．
(3)$f(x)$を求めよ．
\[ \int_0^x f(t) \cos (x-t) \, dt=p(x) \]
を満たしている．このとき次の問いに答えよ．
(1)$f(0)=p^\prime(0)$を示せ．
(2)$f^\prime(x)=p(x)+p^{\prime\prime}(x)$を示せ．
(3)$f(x)$を求めよ．
国立 金沢大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$f(t)$を$0 \leqq t \leqq 1$で連続な関数とする．$\tan x=t$とおいて，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{f(\tan x)}{\cos^2 x} \, dx=\int_0^1 f(t) \, dt \]
であることを示せ．
(2)(1)を用いて，$0$以上の整数$n$に対し，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^n x}{\cos^2 x} \, dx$の値を求めよ．また，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \leqq \frac{1}{n+1} \]
を示せ．
(3)$0$以上の整数$n$と$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$を満たす$x$に対し，
\[ \frac{1-\tan^2 x+\tan^4 x- \cdots +(-1)^n \tan^{2n} x}{\cos^2 x}=1-(-1)^{n+1} \tan^{2(n+1)} x \]
であることを示せ．
(4)(2)と(3)を用いて，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{1}{2k+1}$の値を求めよ．
(1)$f(t)$を$0 \leqq t \leqq 1$で連続な関数とする．$\tan x=t$とおいて，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{f(\tan x)}{\cos^2 x} \, dx=\int_0^1 f(t) \, dt \]
であることを示せ．
(2)(1)を用いて，$0$以上の整数$n$に対し，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^n x}{\cos^2 x} \, dx$の値を求めよ．また，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \leqq \frac{1}{n+1} \]
を示せ．
(3)$0$以上の整数$n$と$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$を満たす$x$に対し，
\[ \frac{1-\tan^2 x+\tan^4 x- \cdots +(-1)^n \tan^{2n} x}{\cos^2 x}=1-(-1)^{n+1} \tan^{2(n+1)} x \]
であることを示せ．
(4)(2)と(3)を用いて，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{1}{2k+1}$の値を求めよ．
国立 京都教育大学 2012年 第3問自然数$6$は$6=1+2+3$と$2$つ以上の連続する自然数の和として表すことができる．同様に，$15$は$15=4+5+6$と表すことができる．ただし，このような表し方は$1$通りとは限らない．実際，$15$は$15=1+2+3+4+5$とも表すことができる．次の問に答えよ．
(1)$3$つの連続する自然数の和として表すことができる数を，小さいものから順に$5$個書け．
(2)$4$つの連続する自然数の和として表すことができる数を，小さいものから順に$5$個書け．
(3)$5$つの連続する自然数の和として表すことができる数を，小さいものから順に$5$個書け．
(4)自然数$1024$は，$2$つ以上の連続する自然数の和として表すことができないことを証明せよ．
(1)$3$つの連続する自然数の和として表すことができる数を，小さいものから順に$5$個書け．
(2)$4$つの連続する自然数の和として表すことができる数を，小さいものから順に$5$個書け．
(3)$5$つの連続する自然数の和として表すことができる数を，小さいものから順に$5$個書け．
(4)自然数$1024$は，$2$つ以上の連続する自然数の和として表すことができないことを証明せよ．
国立 鳥取大学 2012年 第3問連続な関数$f(x)$が以下の式を満たすとき，次の問いに答えよ．
\[ \int_a^x (x-t)f(t) \, dt=\cos (ax)-b \]
ただし$a,\ b$は定数で$0<a<2$とする．
(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3) $f(x)$が最大値を取るときの$x$の値を求めよ．
\[ \int_a^x (x-t)f(t) \, dt=\cos (ax)-b \]
ただし$a,\ b$は定数で$0<a<2$とする．
(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3) $f(x)$が最大値を取るときの$x$の値を求めよ．
私立 青森中央学院大学 2012年 第4問連続する3つの自然数$n,\ n+1,\ n+2$について考える．\\
$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=245$となるとき，$n$の値を求めよ．
$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=245$となるとき，$n$の値を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2012年 第5問集合$\{1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n\}$の部分集合の中で，連続する自然数を含まない部分集合の個数を$f(n)$とする．ただし空集合は連続する自然数を含まない部分集合とする．たとえば$n=4$のとき，$\{1,\ 3,\ 4\}$は連続する自然数を含む部分集合，$\{2\}$や$\{1,\ 3\}$は連続する自然数を含まない部分集合である．このとき$f(1)=[(101)]$，$f(2)=[(102)]$，$f(3)=[(103)]$となる．$n \geqq 3$のとき
\[ f(n)=f(n-1)+[(104)]f(n-[(105)]) \]
である．$f(10)=[(106)][(107)][(108)]$となる．
\[ f(n)=f(n-1)+[(104)]f(n-[(105)]) \]
である．$f(10)=[(106)][(107)][(108)]$となる．
私立 自治医科大学 2012年 第4問連続する$3$つの自然数$n,\ n+1,\ n+2$について考える．$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=245$となるとき，$n$の値を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2012年 第4問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \alpha<\beta \leqq \frac{\pi}{2}$かつ$R>0$とする．極座標$(r,\ \theta)$に関する条件
\[ 0 \leqq r \leqq R,\quad \alpha \leqq \theta \leqq \beta \]
により定まる図形を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$T$とする．$T$を$\alpha,\ \beta,\ R$を用いた式で表すと
\[ T=[あ] \]
である．
(2)極方程式$r=f(\theta) (0 \leqq \theta \leqq \alpha)$で表される曲線$C$と，$\theta=\alpha$で表される直線$\ell$および$x$軸の正の部分で囲まれた図形を$S$とする．ただし$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とし，関数$f(\theta)$は連続かつ$f(\theta)>0$をみたし，$0 \leqq \theta \leqq \alpha$において増加または減少または定数とする．
$S$を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$V(\alpha)$とすると
\[ \frac{d}{d\alpha}V(\alpha)=[い] \]
であり，したがって
\[ V(\alpha)=[う] \]
である．また$S$を直線$\ell$のまわりに回転させて得られる立体の体積を$W(\alpha)$とすると
\[ W(\alpha)=[え] \]
である．
(3)$(2)$において$f(\theta)=\sqrt[3]{\cos \theta}$とするとき$\displaystyle V \left( \frac{\pi}{4} \right)$，$\displaystyle W \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めると
\[ V \left( \frac{\pi}{4} \right)=[お],\quad W \left( \frac{\pi}{4} \right)=[か] \]
である．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \alpha<\beta \leqq \frac{\pi}{2}$かつ$R>0$とする．極座標$(r,\ \theta)$に関する条件
\[ 0 \leqq r \leqq R,\quad \alpha \leqq \theta \leqq \beta \]
により定まる図形を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$T$とする．$T$を$\alpha,\ \beta,\ R$を用いた式で表すと
\[ T=[あ] \]
である．
(2)極方程式$r=f(\theta) (0 \leqq \theta \leqq \alpha)$で表される曲線$C$と，$\theta=\alpha$で表される直線$\ell$および$x$軸の正の部分で囲まれた図形を$S$とする．ただし$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とし，関数$f(\theta)$は連続かつ$f(\theta)>0$をみたし，$0 \leqq \theta \leqq \alpha$において増加または減少または定数とする．
$S$を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$V(\alpha)$とすると
\[ \frac{d}{d\alpha}V(\alpha)=[い] \]
であり，したがって
\[ V(\alpha)=[う] \]
である．また$S$を直線$\ell$のまわりに回転させて得られる立体の体積を$W(\alpha)$とすると
\[ W(\alpha)=[え] \]
である．
(3)$(2)$において$f(\theta)=\sqrt[3]{\cos \theta}$とするとき$\displaystyle V \left( \frac{\pi}{4} \right)$，$\displaystyle W \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めると
\[ V \left( \frac{\pi}{4} \right)=[お],\quad W \left( \frac{\pi}{4} \right)=[か] \]
である．