次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)不等式$x |x+2|<2x$の解は$[ア]$である．

(2)$a$を実数とする．$\displaystyle \frac{3+i}{1+ai}$の実部と虚部の和が$0$であるとき，$a=[イ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)座標平面上の点$(2,\ 1)$から円$x^2+y^2=1$へ引いた接線の方程式は$y=1$と$y=[ウ]$である．
(4)${128}^{\frac{1}{6}},\ 8^{\frac{2}{5}},\ {81}^{\frac{1}{5}}$のうち最大のものは$[エ]$である．
(5)$\cos {165}^\circ$の値は$[オ]$である．
(6)平面上に三角形$\mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[カ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[キ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(7)数列$\{a_k\}$は$a_1=0$と漸化式$a_{k+1}=2a_k+1 (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．このとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \log_8 (1+a_k)=[ク]$である．
(8)数字の$1$が書かれたカードが$1$枚，数字の$2$が書かれたカードが$2$枚，数字の$3$が書かれたカードが$3$枚ある．この$6$枚のカード全部を$1$列に並べるとき，数字の$2$が書かれたカードが連続して並ぶ確率は$[ケ]$である．

定数$a_1<a_2<a_3< \cdots$に対して，連続関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$が$f_1(x)=|x-a_1|$，$f_{n+1}(x)=f_n(x)+|x-a_{n+1|}$によって定義されている．

(1)$a_1=1,\ a_2=2$のとき，$f_2(x)$の最小値を求めよ．
(2)$a_1=1,\ a_2=2,\ a_3=3$のとき，$f_3(x)$の最小値を求めよ．
(3)$n$が$2$以上の自然数であるとき，$f_n(x)$の最小値を求めよ．

$n$を$2$以上の整数とする．自然数（$1$以上の整数）の$n$乗になる数を$n$乗数と呼ぶことにする．以下の問いに答えよ．

(1)連続する$2$個の自然数の積は$n$乗数でないことを示せ．
(2)連続する$n$個の自然数の積は$n$乗数でないことを示せ．

$n$は$3$以上の整数とする．$1$から$n$までの整数から連続する$2$つの整数$x,\ x+1$を取り除く．次の問いに答えよ．

(1)$n=17$のとき，残された整数の総和を個数$15$で割った値が$\displaystyle \frac{42}{5}$であったとする．取り除いた$2$つの整数を求めよ．
(2)$n \geqq 39$のとき，不等式
\[ \frac{1}{2}n(n+1) -1 -2(n-1) > \frac{205}{11}(n-2) \]
が成り立つことを証明せよ．
(3)残された整数の総和を個数$n-2$で割った値が$\displaystyle \frac{205}{11}$であるとする．$n$と取り除いた$2$つの整数を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$は第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$が連続で，ある$a<b$に対して，$f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$を満たしているものとする．このとき
\[ f(b)-f(a)=\int_a^b \left( \frac{a+b}{2}-x \right) f^{\prime\prime}(x) \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線道路上における車の走行を考える．ある信号で停止していた車が，時刻0で発進後，距離$L$だけ離れた次の信号に時刻$T$で到達し再び停止した．この間にこの車の加速度の絶対値が$\displaystyle \frac{4L}{T^2}$以上である瞬間があることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．
\[ \int \log (1+x) \, dx \]
(2)関数$f(x)$が区間$[0,\ 1]$で連続な増加関数であって，常に$f(x) \geqq 0$であるものとする．また，$n$を自然数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ 0 \leqq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) -\int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{n} \{ f(1)-f(0) \} \]
(3)$f(x)=\log (1+x)$に対して(2)の結果を用いて，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \log \left\{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) \left( 1+\frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1+\frac{n}{n} \right) \right\} \right] \]

次の問いに答えよ．

(1)$a$を$0$でない実数とする．$x$についての$3$次方程式$x^3-a^3=0$の$2$つの虚数解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin |2x| \, dx$を求めよ．
(3)連続する$3$つの自然数$a,\ b,\ c$があり，それらは$a^2+b^2=c^2,\ a<b<c$をみたすとする．このような$a,\ b,\ c$はただ$1$組しかないことを示せ．

$a,\ b$を実数とし，$a<b$とする．関数$f(x)$は閉区間$[a,\ b]$で連続，開区間$(a,\ b)$で少なくとも2回まで微分可能で，$f^{\prime\prime}(x) \geqq 0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a<c<b$とする．$y=g(x)$を点$(c,\ f(c))$における$f(x)$の接線とする．$a \leqq x \leqq b$のとき$g(x) \leqq f(x)$を示せ．
(2)$y=h(x)$を，$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$の2点を通る直線とする．$a \leqq x \leqq b$のとき$f(x) \leqq h(x)$を示せ．
(3)$a<c<b$とする．
\[ \frac{1}{2}(b-a) \left( f^\prime(c)(a+b-2c)+2f(c) \right) \leqq \int_a^b f(x) \, dx \leqq \frac{1}{2}(f(a)+f(b))(b-a) \]
を示せ．
(4)\[ \frac{\pi}{2}e^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-\cos x} \, dx \leqq \frac{\pi}{4} \left( 1+\frac{1}{e} \right) \]
を示せ．

袋の中に赤玉と白玉が何個か入っている．袋から玉を$1$つ取り出して元に戻す試行を繰り返す．$1$回の試行で赤玉が出る確率を$p$とするとき，下の問いに答えよ．

(1)$2$回赤玉が出るまで試行を繰り返すとき，試行の回数が$3$以下になる確率を求めよ．
(2)$2$回連続して赤玉が出るまで試行を繰り返すとき，試行の回数が$4$以下になる確率を求めよ．
(3)赤玉を取り出した回数と白玉を取り出した回数の差が$2$になるまで試行を繰り返す．このとき，試行の回数が$n$以下で赤玉が$2$回多く出る確率を求めよ．

以下の問いに答えなさい．

(1)自然数$m,\ n$に対して，$m$以上$m+n$以下の自然数の和を$m,\ n$の式で表しなさい．
(2)12は，$12=3+4+5$と連続する3つの自然数の和として表すことができる．88を連続する2つ以上の自然数の和として表しなさい．