コインを連続して投げる試行を考える．表が出た回は賞金が得られ，裏が出た回の賞金は$0$円とする．賞金は，$1$回目の試行で表なら$1$円，直前に裏が出て表が出たら$1$円である．裏が出た直後の試行または$1$回目の試行から数えて$n$回（$n \geqq 2$）続けて表が出ると，この$n$回目の表に対して$n$円得られるとする．たとえば，$5$回投げて表，表，裏，表，表の順に出た場合に（表，表，裏，表，表）と表記する．この場合には$1+2+0+1+2$の合計$6$円の賞金が得られる．以下の問題に答えよ．

(1)$2$回コインを投げ，$2$回とも表が出る確率を求めよ．
(2)$2$回コインを投げたとき，得られる賞金の期待値を求めよ．
(3)$5$回コインを投げて$3$回表が出たとする．得られる賞金が最も多いときと最も少ないときの賞金の差を求めよ．
(4)$5$回コインを投げたとき，得られる賞金が$4$円である確率を求めよ．
(5)$5$回コインを投げたとき，得られる賞金が$3$円以下である確率を求めよ．

区間$-\infty<x<\infty$で定義された連続関数$f(x)$に対して
\[ F(x)=\int_0^{2x}tf(2x-t) \,dt \]
とおく．

(1)$\displaystyle F \left( \frac{x}{2} \right)=\int_0^x (x-s)f(s) \,ds$となることを示せ．
(2)$2$次導関数$F^{\prime\prime}$を$f$で表せ．
(3)$F$が$3$次多項式で$F(1)=f(1)=1$となるとき，$f$と$F$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を区間$0 \leqq x \leqq 1$で定義された連続関数とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \int_0^\pi xf(\sin x) \, dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x) \, dx \]
(2)$a>1$とする．(1)を用いて，積分
\[ \int_0^\pi \frac{x(a^2-4 \cos^2 x)\sin x}{a^2-\cos^2 x} \, dx \]
を求めよ．

次の命題$\mathrm{P}$を証明したい．

命題$\mathrm{P}$ \quad 次の$2$条件(a)，(b)をともに満たす自然数（$1$以上の整数）$A$が存在する．

(a) $A$は連続する$3$つの自然数の積である．
(b) $A$を$10$進法で表したとき，$1$が連続して$99$回以上現れるところがある．


以下の問いに答えよ．

(1)$y$を自然数とする．このとき不等式
\[ x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)<x^3+(3y+1)x^2 \]
が成り立つような正の実数$x$の範囲を求めよ．
(2)命題$\mathrm{P}$を証明せよ．

$x \geqq 0$において連続関数$f(x)$が不等式
\[ f(x) \leqq a+\int_0^x 2tf(t) \, dt \]
をみたしているとする．$g(x)=ae^{x^2}$とするとき，下の問いに答えよ．ただし，$a$は$0$以上の定数である．

(1)等式$\displaystyle g(x)=a+\int_0^x 2tg(t) \, dt$を示せ．
(2)$\displaystyle h(x)=e^{-x^2}\int_0^x 2tf(t) \, dt$とするとき，$x>0$において不等式$h^\prime(x) \leqq 2axe^{-x^2}$が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$において不等式$f(x) \leqq g(x)$が成り立つことを示せ．

$3$種類の文字$\mathrm{O}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{S}$を，くり返しを許して$1$列に$6$個並べるとき，次のような並べ方はそれぞれ何通りあるか．

(1)$\mathrm{O}$が含まれないように並べる．
(2)$\mathrm{O}$が$2$個以上含まれるように並べる．
(3)$\mathrm{O}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{S}$がいずれも$2$個ずつ含まれるように並べる．
(4)どの連続する$3$文字も「$\mathrm{OUS}$」とならないように並べる．

次の問に答えよ．

(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(e^{3x}-1)}{1-\cos x}$を求めよ．

(2)関数$y=f(x)$は$0 \leqq x \leqq 3$において連続で，$f(x)>0$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=0$，$x=3$により囲まれた図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$6 \pi$であり，$D$を直線$y=-1$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$13 \pi$である．$D$の面積を求めよ．

さいころを連続して振るとき，

(1)同じ数が続けて$2$回でると終了とする．このとき，$n$回目で終わる確率は$[$25$]$である．ただし，$n \geqq 2$とする．
(2)$n$回目にでた数が，それ以前にでた数と一致すると終了とする．このとき，$n$回目で終わる確率は$[$26$]$である．ただし，$2 \leqq n \leqq 7$とする．

$0 \leqq x \leqq 2\pi$で連続な関数$f(x)$が
\[ f(x)=\cos x \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(y) \sin y \, dy+\sin x \]
をみたすとき，$f(x)$を求めよ．

数列
\[ \{a_n\}:\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5},\ \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6},\ \cdots \]
がある．この数列$\{a_n\}$を
\[ \frac{1}{2} \;\biggl|\; \frac{1}{3},\ \frac{2}{3} \;\biggl|\; \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4} \;\biggl|\; \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5} \;\biggl|\; \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6} \;\biggl|\; \cdots \]
のように群に分けると，第$k$群は，初項$\displaystyle \frac{1}{k+1}$，末項$\displaystyle \frac{k}{k+1}$，公差$\displaystyle \frac{1}{k+1}$の等差数列である．

(1)数列$\{a_n\}$の各項を既約分数で表したとき，分子が$1$となる分数が$4$つ連続して初めて現れるのは，$\displaystyle \frac{1}{[ノ]}$からの$4$つの項である．
(2)数列$\{a_n\}$の第$1$群の初項から，第$m$群の末項までの和は，
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{m}{m+1}=\frac{[ハ]}{[ヒ]}m^{\mkakko{フ}}+\frac{[ヘ]}{[ホ]}m \]
である．