以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

(1)$8x^3-27y^3$を因数分解すると$[ア]$である．
(2)関数$f(x)=x^2-4x+5 (-1 \leqq x \leqq 3)$の最大値は$[イ]$，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{3+i}{1-2i}$を$a+bi$の形にすると，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(4)不等式$\log_3 (1-x) \leqq \log_{\frac{1}{3}} (2x+1)$を満たす$x$の値の範囲は$[カ]$である．
(5)日曜日から土曜日までのうち$3$つの曜日を選び，毎週それらの曜日に出勤することとする．出勤する曜日の選び方は全部で$[キ]$通りある．また，$2$日は連続して出勤するが，$3$日は連続して出勤しないような曜日の選び方は$[ク]$通りある．

次の問いに答えよ．

(1)$xy+y^2+xz+yz$を因数分解せよ．
(2)$a,\ b,\ c (a<b<c)$は連続した自然数とする．このとき
\[ ab+b^2+ac+bc \]
を$4$で割った余りが$3$であることを示せ．
(3)$a,\ b,\ c (a<b<c)$は連続した自然数とする．このとき
\[ a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+2abc \]
は$6$の倍数であることを示せ．

連続な関数$f(x)$が以下の関係式を満たすとき，次の問いに答えよ．
\[ \int_a^x (x-t)f(t) \, dt=2 \sin x-x+b \]
ただし，$a,\ b$は定数であり，$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{\pi}{2}$である．

(1)$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt$を求めよ．

(2)$f(x)$を求めよ．
(3)定数$a,\ b$の値を求めよ．

(4)$\displaystyle \int_\pi^{\frac{3}{2}\pi} \{f(x)\}^3 \, dx$を求めよ．

連続関数$f(x)$に対して$\displaystyle v(x)=\int_0^x e^t f(x-t) \, dt$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$f(x)=x$のとき，$v(x)$を求めよ．
(2)$v(x)+f(x)=\sin^4 x$のとき，$v(x)$を求めよ．
(3)$v(x)+f(x)=\sin^4 x$のとき，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$を求めよ．

関数$f(x)$と$g(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
|x \log \abs{x|} & (x \neq 0) \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
0 \phantom{\frac{[　]}{2}} & (x=0)
\end{array} \right. \]
\[ g(x)=-x^2+1 \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示し，これを用いて$f(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．
(2)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)方程式$f(x)=g(x)$の解は$x=-1,\ 1$のみであることを示せ．
(4)$0<r<1$とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$によって囲まれた図形のうち，$x \geqq r$の範囲の部分の面積を$S(r)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{r \to +0} S(r)$を求めよ．

$f(x)$を区間$[0,\ 1]$で定義された連続な関数とする．このとき，定積分
\[ I=\int_0^1 \left[ 2f(x) \log (x+1)-\{f(x)\}^2 \right] \, dx \]
について下の問いに答えよ．

(1)$I$の値を最大にするような$f(x)$を求めよ．
(2)$I$の最大値を求めよ．

$k$は$1$以上の整数であるとする．連続した整数が書かれた$2^k-1$枚のカードが$1$組あり，その中に無作為に選ばれた当たりが一枚だけ含まれているとする．次のようなルールで当たりのカードにたどりつくことを考える．

(i) カードのうち，ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく．それが当たりなら終了する．
(ii) ハズレならば，真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける．
(iii) 当たりのカードの含まれた組を教えてもらい，その組に対して，$(ⅰ)$に戻って繰り返す．

このルールのもとで，ひいたカードの枚数の期待値を$E_k$とおく．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$E_1,\ E_2,\ E_3,\ E_4$を求めよ．
(2)$E_{k+1}$を$E_k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d_k=E_k-\frac{1}{{2}^{k}}(E_k+1)$とおくとき，$d_k$のみたす漸化式を求めよ．
(4)$E_k$を求めよ．
(5)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}(E_k-k)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{k}{{2}^{k}}=0$であることを用いてもよい．

会社員の$3$人は，月曜，火曜，水曜の三日間連続して，会社近くの$3$つの飲食店のいずれかで昼食をとる．いずれの曜日も，$3$人は互いに独立に$3$店から$1$つを無作為に選ぶ．次の問いに答えよ．

(1)月曜に次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ．

(i) $3$人の選ぶ店が互いにすべて異なる．
(ii) $3$人全員が同じ店を選ぶ．
(iii) $2$人は同じ店を選び，$1$人だけ別の店を選ぶ．

(2)月曜，火曜の連続した二日間で，火曜にはじめて$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
(3)月曜，火曜，水曜の連続した三日間で，少なくとも$1$日は$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．

会社員の$3$人は，月曜，火曜，水曜の三日間連続して，会社近くの$3$つの飲食店のいずれかで昼食をとる．いずれの曜日も，$3$人は互いに独立に$3$店から$1$つを無作為に選ぶ．次の問いに答えよ．

(1)月曜に次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ．

(i) $3$人の選ぶ店が互いにすべて異なる．
(ii) $3$人全員が同じ店を選ぶ．
(iii) $2$人は同じ店を選び，$1$人だけ別の店を選ぶ．

(2)月曜，火曜の連続した二日間で，火曜にはじめて$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
(3)月曜，火曜，水曜の連続した三日間で，少なくとも$1$日は$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$n$を正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底$e$は無理数であることを証明せずに用いてよい．

(i) 等式$\displaystyle \int_0^1 t^ne^t \, dt=a_ne+b_n$が成り立つ整数$a_n$，$b_n$がただ$1$組存在することを示せ．
(ii) $a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}$の値を求めよ．

(2)区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{\pi}{2} \right]$で連続な関数$f(x)$に対し，等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f \left( \frac{\pi}{2}-x \right) \, dx$が成り立つことを証明せよ．さらに，それを利用して次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x} \, dx \]