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国立 東北大学 2015年 第6問$k \geqq 2$と$n$を自然数とする．$n$が$k$個の連続する自然数の和であるとき，すなわち，
\[ n=m+(m+1)+\cdots +(m+k-1) \]
が成り立つような自然数$m$が存在するとき，$n$を$k$-連続和とよぶことにする．ただし，自然数とは$1$以上の整数のことである．
(1)$n$が$k$-連続和であることは，次の条件$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$の両方が成り立つことと同値であることを示せ．
$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$は整数である．
$(\mathrm{B})$ $2n>k^2$が成り立つ．
(2)$f$を自然数とする．$n=2^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$は存在しないことを示せ．
(3)$f$を自然数とし，$p$を$2$でない素数とする．$n=p^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$の個数を求めよ．
\[ n=m+(m+1)+\cdots +(m+k-1) \]
が成り立つような自然数$m$が存在するとき，$n$を$k$-連続和とよぶことにする．ただし，自然数とは$1$以上の整数のことである．
(1)$n$が$k$-連続和であることは，次の条件$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$の両方が成り立つことと同値であることを示せ．
$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$は整数である．
$(\mathrm{B})$ $2n>k^2$が成り立つ．
(2)$f$を自然数とする．$n=2^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$は存在しないことを示せ．
(3)$f$を自然数とし，$p$を$2$でない素数とする．$n=p^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$の個数を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第5問すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^\prime(x)$は連続とする．$f(x)$，$f^\prime(x)$が等式
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=1$，および$x$軸，$y$軸で囲まれた部分を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=1$，および$x$軸，$y$軸で囲まれた部分を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第2問$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれている$n$個の球が，袋の中に入っている．この袋の中から$3$個の球を同時に取り出す．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n \geqq 3$とする．
(1)$n=5$のとき，球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率を求めよ．
(2)球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率$p(n)$を求めよ．
(3)球に書かれている$3$つの数のうち，どの$2$つも連続していない確率$q(n)$を求めよ．
(4)$p(n)$の最大値と，そのときの$n$の値を求めよ．
(1)$n=5$のとき，球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率を求めよ．
(2)球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率$p(n)$を求めよ．
(3)球に書かれている$3$つの数のうち，どの$2$つも連続していない確率$q(n)$を求めよ．
(4)$p(n)$の最大値と，そのときの$n$の値を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第1問$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれている$n$個の球が，袋の中に入っている．この袋の中から$3$個の球を同時に取り出す．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n \geqq 3$とする．
(1)$n=5$のとき，球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率を求めよ．
(2)球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率$p(n)$を求めよ．
(3)球に書かれている$3$つの数のうち，どの$2$つも連続していない確率$q(n)$を求めよ．
(4)$p(n)$の最大値と，そのときの$n$の値を求めよ．
(1)$n=5$のとき，球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率を求めよ．
(2)球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率$p(n)$を求めよ．
(3)球に書かれている$3$つの数のうち，どの$2$つも連続していない確率$q(n)$を求めよ．
(4)$p(n)$の最大値と，そのときの$n$の値を求めよ．
国立 岐阜大学 2015年 第1問$10$個の文字$\mathrm{N}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{W}$，$\mathrm{A}$を左から右へ横$1$列に並べる．以下の問に答えよ．
(1)この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．
(1)この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．
国立 岐阜大学 2015年 第1問$10$個の文字$\mathrm{N}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{W}$，$\mathrm{A}$を左から右へ横$1$列に並べる．以下の問に答えよ．
(1)この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．
(1)この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．
私立 慶應義塾大学 2015年 第3問$0<\theta _n<1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となる数列$\{\theta_n\}$を用いて，閉区間$[0,\ 1]$から始めて，以下のようにしていくつかの閉区間を残す操作を繰り返す．ただし，$a<b$とするとき，開区間$(a,\ b)$の長さは閉区間$[a,\ b]$の長さと等しく$b-a$である．
$1$回目の操作では，閉区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{1-\theta_1}{2} \right]$と$\displaystyle \left[ \frac{1+\theta_1}{2},\ 1 \right]$を残す．残った閉区間の個数を$k_1$，各閉区間の長さを$r_1$とおき，$s_1$を$s_1=k_1r_1$と定める．$k_1=2$，$\displaystyle r_1=\frac{1-\theta_1}{2}$，$s_1=1-\theta_1$である．
$n+1$回目の操作では，$n$回目の操作を終えて残った$k_n$個の長さ$r_n$の各閉区間から長さ$\theta_{n+1}r_n$の閉区間を取り除き，長さの等しい閉区間を$2$個ずつ残す．こうして残った閉区間の個数を$k_{n+1}$，各閉区間の長さを$r_{n+1}$とおき，$s_{n+1}$を$s_{n+1}=k_{n+1}r_{n+1}$と定める．
(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} r_n=[サ]$である．
(2)$\displaystyle \theta_n=\frac{2}{(n+1)(n+2)} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n=[シ]$である．
(3)$0<\theta<1$とし，$\theta_n=\theta (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，閉区間$[0,\ 1]$を定義域とする連続関数$f_n(x)$と実数$a_n$が次の条件を満たすとする．
\mon[条件：] $f_n(0)=0$で$f_n(1)=1$である．関数$f_n(x)$は，$n$回目までの操作で取り除いた各開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=0$となり，$n$回目の操作を終えて残った各閉区間から両端を除いた開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=a_n$となる．
このとき$a_n$を$\theta$と$n$を用いて表すと$a_n=[ス]$となる．関数$y=f_n(x) (0 \leqq x \leqq 1)$のグラフは折れ線になり，その長さを$l_n$とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} l_n=[セ]$となる．
$1$回目の操作では，閉区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{1-\theta_1}{2} \right]$と$\displaystyle \left[ \frac{1+\theta_1}{2},\ 1 \right]$を残す．残った閉区間の個数を$k_1$，各閉区間の長さを$r_1$とおき，$s_1$を$s_1=k_1r_1$と定める．$k_1=2$，$\displaystyle r_1=\frac{1-\theta_1}{2}$，$s_1=1-\theta_1$である．
$n+1$回目の操作では，$n$回目の操作を終えて残った$k_n$個の長さ$r_n$の各閉区間から長さ$\theta_{n+1}r_n$の閉区間を取り除き，長さの等しい閉区間を$2$個ずつ残す．こうして残った閉区間の個数を$k_{n+1}$，各閉区間の長さを$r_{n+1}$とおき，$s_{n+1}$を$s_{n+1}=k_{n+1}r_{n+1}$と定める．
(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} r_n=[サ]$である．
(2)$\displaystyle \theta_n=\frac{2}{(n+1)(n+2)} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n=[シ]$である．
(3)$0<\theta<1$とし，$\theta_n=\theta (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，閉区間$[0,\ 1]$を定義域とする連続関数$f_n(x)$と実数$a_n$が次の条件を満たすとする．
\mon[条件：] $f_n(0)=0$で$f_n(1)=1$である．関数$f_n(x)$は，$n$回目までの操作で取り除いた各開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=0$となり，$n$回目の操作を終えて残った各閉区間から両端を除いた開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=a_n$となる．
このとき$a_n$を$\theta$と$n$を用いて表すと$a_n=[ス]$となる．関数$y=f_n(x) (0 \leqq x \leqq 1)$のグラフは折れ線になり，その長さを$l_n$とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} l_n=[セ]$となる．
私立 上智大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$とする．
\[ x^2+[ア]x+[イ]=0 \]
である．また，$y=x^2$とするとき，
\[ y^2+[ウ]y+[エ]=0 \]
である．$x^3=ax+b$となる整数$a,\ b$は
\[ a=[オ],\quad b=[カ] \]
である．
(2)$\theta$を実数とするとき，
$\cos 3\theta=[キ] \cos^3 \theta+[ク] \cos \theta,$
$\cos 5\theta=[ケ] \cos^5 \theta+[コ] \cos^3 \theta+[サ] \cos \theta$
である．
(3)$a>1$とする．数列
$a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^3,\ a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad \cdots$
第$1$群 \qquad 第$2$群 \qquad\qquad 第$3$群
において，例えば，第$3$群第$1$項は$a^3$であり，これは最初から数えて第$6$項である．$a^{12}$が初めて現れるのは最初から数えて第$[シ]$項である．また最初から数えて第$645$項は第$[ス]$群$[セ]$項である．
(4)次の$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$のように，$2$つの試行を連続して行った結果それぞれ事象$A$と事象$B$が起こった．$2$つの試行が独立なものの組み合わせとして最もふさわしいものを一つ選べ．
\mon[$\mathrm{a.}$] 赤い玉が$4$個，白い玉が$4$個入った袋がある．
$A:$玉を$1$個取り出したところ白だった．
$B:$最初の試行で取り出した玉を戻した後，$1$個取り出したところ白だった．
\mon[$\mathrm{b.}$] $30$人のクラスがある．
$A:$無作為に選んだ$\mathrm{X}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
$B:$その次に無作為に選んだ$\mathrm{Y}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
\mon[$\mathrm{c.}$] $5$つの扉があり，それぞれの後ろに猫が一匹いる．猫は黒猫が$3$匹，白猫が$2$匹であり，その場から動かないものとする．
$A:1$つ目の扉を開けたところ，黒猫がいた．
$B:1$つ目の扉を閉じた後，別の扉を開けたところ，白猫がいた．
\begin{screen}
選択肢：
\begin{tabular}{lll}
$1.$ \ $\mathrm{a}$ & $2.$ \ $\mathrm{b}$ & $3.$ \ $\mathrm{c}$ \\
$4.$ \ $\mathrm{ab}$ & $5.$ \ $\mathrm{ac}$ & $6.$ \ $\mathrm{bc}$ \\
$7.$ \ $\mathrm{abc}$ \phantom{AAAAA} & $8.$ \ なし \phantom{AAAAA} & \phantom{AAAAA} \\
\end{tabular}
\end{screen}
(1)$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$とする．
\[ x^2+[ア]x+[イ]=0 \]
である．また，$y=x^2$とするとき，
\[ y^2+[ウ]y+[エ]=0 \]
である．$x^3=ax+b$となる整数$a,\ b$は
\[ a=[オ],\quad b=[カ] \]
である．
(2)$\theta$を実数とするとき，
$\cos 3\theta=[キ] \cos^3 \theta+[ク] \cos \theta,$
$\cos 5\theta=[ケ] \cos^5 \theta+[コ] \cos^3 \theta+[サ] \cos \theta$
である．
(3)$a>1$とする．数列
$a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^3,\ a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad \cdots$
第$1$群 \qquad 第$2$群 \qquad\qquad 第$3$群
において，例えば，第$3$群第$1$項は$a^3$であり，これは最初から数えて第$6$項である．$a^{12}$が初めて現れるのは最初から数えて第$[シ]$項である．また最初から数えて第$645$項は第$[ス]$群$[セ]$項である．
(4)次の$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$のように，$2$つの試行を連続して行った結果それぞれ事象$A$と事象$B$が起こった．$2$つの試行が独立なものの組み合わせとして最もふさわしいものを一つ選べ．
\mon[$\mathrm{a.}$] 赤い玉が$4$個，白い玉が$4$個入った袋がある．
$A:$玉を$1$個取り出したところ白だった．
$B:$最初の試行で取り出した玉を戻した後，$1$個取り出したところ白だった．
\mon[$\mathrm{b.}$] $30$人のクラスがある．
$A:$無作為に選んだ$\mathrm{X}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
$B:$その次に無作為に選んだ$\mathrm{Y}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
\mon[$\mathrm{c.}$] $5$つの扉があり，それぞれの後ろに猫が一匹いる．猫は黒猫が$3$匹，白猫が$2$匹であり，その場から動かないものとする．
$A:1$つ目の扉を開けたところ，黒猫がいた．
$B:1$つ目の扉を閉じた後，別の扉を開けたところ，白猫がいた．
\begin{screen}
選択肢：
\begin{tabular}{lll}
$1.$ \ $\mathrm{a}$ & $2.$ \ $\mathrm{b}$ & $3.$ \ $\mathrm{c}$ \\
$4.$ \ $\mathrm{ab}$ & $5.$ \ $\mathrm{ac}$ & $6.$ \ $\mathrm{bc}$ \\
$7.$ \ $\mathrm{abc}$ \phantom{AAAAA} & $8.$ \ なし \phantom{AAAAA} & \phantom{AAAAA} \\
\end{tabular}
\end{screen}
私立 東邦大学 2015年 第4問$n$を自然数とする．関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{a+x^2+x^{2n}-x^{2n+2}}{12+x^{2n}}$と定めるとき，$f(x)$が実数全体で連続となるような定数$a$の値は$[ケコ]$である．
私立 山口東京理科大学 2015年 第4問$5$個の連続な自然数の和が$1000$であるとき，この連続な自然数の一番小さい数は$[シ][ス][セ]$である．